ASCENSION ET DEPRESSION CAPILLAIRES
OU en remplaçant V par la valeur (5)
8. Équation de la surface libre d'un liquide. — Cette équation se déduit immédiatement de la précédente.
Pour un point de la surface on a e = o ; par suite, la pression Pq en ce point est
Po = Ho)- ^) (i- H- i-j + W + const.
Mais 0 (o) est une constante ; p^ a aussi la même valeur en tout point de la surface libre, donc on a simplement
Lorsque les forces agissant à distance sensible se réduisent à la pesanteur, on a Y = X = o, Z := ^, si l'on prend Taxe des z vertical et dirigé vers le bas et pour plan des xi/ un plan horizontal. Par suite, on a dans ce cas
W = ffz
et l'équation de la surface libre est
2 (r + a) = ^^ + const. (8)
9. Ascension et dépression capillaires. — Quand un tube capillaire est plongé verticalement dans l'eau, le liquide s'élève dans le tube au-dessus de son niveau dans le vase ; quand il est plongé dans le mercure, la surface libre dans le
tube est au-dessous de la surface libre dans le vase. L'équation précédente permet de trouver la forme du ménisque dans l'un et l'autre cas.
Prenons pour plan des xy le plan horizontal qui forme la surface libre du liquide hors du tube. Pour un point de ce plan on a R^ ^ Ro = x ei z =2 o. Donc, la constante de l'équation (8) est égale à 0 et on a simplement
Si nous supposons le tube capillaire cylindrique, la surface libre dans le tube est de révolution et au sommet de cette surface on a R, = R2 ; on a donc pour ce point
^ io)
Quand il y a ascension du liquide, le z du sommet est négatif; par suite, R, doit être négatif, puisque 5, est positif quand les forces sont attractives. Le centre de courbure est alors du côté des z négatifs, et le ménisque est concave.
Quand il y a dépression, le z du sommet est positif. Le rayon de courbure en ce sommet doit être positif, et le ménisque est alors convexe.
Nous voyons comment la théorie de Laplace permet de prévoir la forme du ménisque, quand on sait s'il y a ascension ou dépression, ou inversement de prévoir s'il y a ascension ou dépression, quand on connaît la forme du ménisque. Toutefois, le problème n'est qu'à moitié résolu, car nous ignorons encore pourquoi certains liquides s'élèvent dans un tube capillaire, tandis que pour d'autres il y a dépression. A
deux reprises, I.aplace a tenté d'en donner une explication ; dans un premier Mémoire ('), il parvient à une explication plausible, mais en s'appuyant sur une hypothèse ; dans un autre Mémoire (^), les conclusions auxquelles il arrive ne sont rigoureuses que dans le cas où le tube est cylindrique, et encore la méthode est-elle très compliquée. Résumons néanmoins ces deux Mémoires.
10. Angle de raccordement. Sa variation. — Considérons la surface libre d'un liquide dans le voisinage d une paroi. Par un des points de la courbe de contact de la surface et de la paroi menons un plan normal à la courbe; il coupe la surface et la paroi suivant deux lignes dont les tangentes au point de rencontre font entre elles un certain angle &. C'est l'angle de raccordement au point considéré.
Dans son premier mémoire, Laplace admet sans démonstration que cet angle est constant, qu'il a la même valeur en tout point de la courbe de contact de la paroi et de la surface du liquide. Pour expliquer la variation de cet angle avec la nature du liquide et celle de la paroi, Laplace suppose que les molécules solides exercent une attraction sur les molécules liquides et que cette attraction ne difîère de celle qui s'exerce entre deux molécules liquides que par un facteur constant.
Appliquons cette hypothèse à la recherche de la condition d'équilibre d'une molécule liquide P {/ïg. 3), située sur la courbe de contact d'une paroi verticale AB et de la surface libre PQ.
(') Œuvres complètes de Laplace, i. IV. Supplémentau livre X du Trail(^ de mécanique céleste, p. 394.
(•-') Œuvres complètes de Laplace, -l" supplément au livre X. p. 419.
Pour que cette molécule soit en équilibre, il faut que la résultante des forces qui agissent sur elle soit normale à la surface libre, car, dans le cas contraire, la molécule glisserait sous l'action de la composante tangentielle.
Or, ces forces sont : 1° l'attraction F due aux molécules de la paroi,attraction qui, par raison de symétrie, est perpendiculaire à AB et dirigée vers l'intérieur de la paroi ; 2" l'attraction F' due aux molécules liquides situées dans le dièdre BPC, attraction qui est évidemment dirigée suivant la bissectrice de l'angle BPC ; 3° l'attraction F, des molécules comprises entre le plan PC et la surface libre, attraction qui doit être ajoutée à F' si l'angle de raccordement est aigu et retranchée si l'angle est obtus ; A" la pesanteur dont la valeur est ^, puisque la masse de la molécule attirée est prise pour unité. En exprimant que la somme des projections de ces forces sur la tangente PC est nulle, on obtient la relation
— F sin cp -f F' cos | -{- Q + (/ cos cp = o,
FiG. 3.
Q désignant la projection de la force F,', projection qui doit être prise avec le signe -f- dans le cas de la figure et avec le signe — quand l'angle cp est obtus.
Calculons F' et F. Pour cela, décomposons le dièdre BPC en dièdres d'angles infiniment petits d^, ■]; étant l'angle de l'une des faces de ce petit dièdre avec le plan bissecteur du
dièdre BPC. Les attractions qu'exercent deux dièdres de même angle sur la molécule P sont égales, car, en faisant tourner l'un d'eux d'un angle convenable autour de son arête, on obtient l'autre. Par suite, l'attraction de chacun des dièdres élémentaires est proportionnelle à d-l ; désignons-la, avec Laplace, par p'd\>. La projection de cette attraction sur la bissectrice de BPC est p'd-p cos •]/, et on a l'attraction du dièdre BPC en intégrant entre les limites de •}, c'est-à-dire
et
d(»nc
F' = p' / cos •} d'\> = 2p' sin |-
Pour avoir F il suffît de faire cp = 2:1 dans cette expression et d'y remplacer p' par la valeur p de cette quantité relative à l'action du solide sur le liquide. Par conséquent
Si nous remplaçons F' et F par ces valeurs dans la relation d'équilibre, il vient
— 2p sin cp 4- 2p' sin | cos | -f Q -f- r/ cos -^ = o, ou
(p— 2p] sin o + Q -f ^ cos » = o. (9)
Quand l'angle de raccordement est aigu, sin cp, cosif et Q sont positifs ; par conséquent, l'égalité précédente ne peut être satisfaite que si
p' — 2p < 0 ou 2p > p'.
20 THÉORIE DE LAPLAGE
Si l'angle de raccordement est obtus, Q doit être pris négativement, comme nous l'avons fait remarquer. Gomme cos ç est alors négatif, tandis que sin cp est positif, la condition (9) conduit à
p' — 2p > o ou 2p < c'.
Enfin, si l'angle de raccordement est droit, on a
sin cp = 1, Q =r 03 cos 'jt = 0
et par suite
La valeur de l'angle de raccordement et, par suite, la dépression et l'élévation des liquides dans les tubes capillaires dépendent donc des intensités p et p' des attractions exercées sur une molécule liquide par un dièdre du solide formant les parois et par un dièdre égal du liquide luimême.
11. Laplace considère également deux cas particuliers : celui où p = p' et celui où p = o.
Supposer que p et p' sont égaux revient à admettre que le tube est formé du liquide même qu'il contient, les molécules étant soumises à des forces de cohésion ne modifiant pas les forces capillaires. Montrons que, dans ces conditions, l'angle de raccordement est nul et que dans un tube cylindrique la surface de séparation est une demi-sphère, si toutefois on néglige la pesanteur du liquide.
Imaginons que le liquide non pesant remplit tout l'espace extérieur à une sphère de centre O (jîg. 4). Le liquide est alors en équilibre, car, par raison de symétrie, les forces
attractives s'exerçant sur une molécule passent par le centre 0 et sont, par suite, normales à la surface de la sphère.
Menons un cylindre tangent à la sphère et solidifions le liquide extérieur à ce cylindre, c'est-à-dire introduisons entre les molécules de ce liquide des forces de cohésion ne modifiant pas les forces attractives capillaires. L'équilibre n'est pas troublé.
Il ne lest pas non plus si nous enlevons le liquide occupant l'espace DACBE, car l'action de ce liquide sur celui qui occupe l'espace GAXBH est négligeable.
En effet, les seules molécules du premier volume pouvant réagir sur les molécules du second sont celles qui sont situées à une distance du cercle AB moindre que le rayon d'activité moléculaire. Ces molécules sont situées dans le volume engendré par la rotation du triangle curviligne KAL autour de l'axe du cylindre. Or, ce volume est un infiniment petit du troisième ordre, puisque AK est un infiniment petit. On peut donc négliger l'action de ce volume.
Il ne reste plus alors que le liquide GANBH, qui est en équilibre et dont la surface libre est un hémisphère. Mais, d'après la remarque faite précédemment, ce liquide est dans les mêmes conditions que s'il se trouvait dans un tube formé d'une matière telle que p = p'. L'angle de raccordement est donc bien nul dans ce cas.
FiG. 4.
22 THEORIE DE LAPLAGE
Le cas où p = o, qui ne correspond d'ailleurs à aucune réalité physique, conduit à une valeur - pour l'angle de raccordement.
Considérons, en effet, une sphère de liquide non pesant ; elle est en équilibre. Menons un cylindre tangent à cette sphère et remplissons l'espace situé en dehors du cylindre ainsi que l'espace DACBE de la matière pour laquelle p =: o. L'équilibre subsiste, puisque la matière ajoutée n'a pas d'action sur les molécules du liquide. Si nous remplissons l'espace GANBH du liquide, nous ne détruisons pas l'équilibre, car les molécules du liquide ajouté qui agissent sur les molécules de la sphère sont uniquement celles qui sont situées dans le petit volume engendré par la rotation du triangle curviligne MAN, et, puisque ce volume est un infiniment petit du troisième ordre, son action peut être négligée.
Nous voyons donc que, lorsqu'un liquide est en équilibre dans un tube cylindrique formé d'une matière n'ayant pas d'action sur ses molécules, la surface libre a la forme d'un hémisphère convexe ACB. Par conséquent, l'angle de raccordement est égal à tt.
En résumé, Laplace parvient à expliquer les diverses formes de la surface du ménisque par une attraction plus ou moins grande des molécules solides et liquides, mais il admet la constance de l'angle de raccordement. Dans son second Mémoire, il revient sur celte explication, mais adopte encore cette dernière hypothèse dont l'exactitude n'a été démontrée que par Gauss. Néanmoins, analysons ce Mémoire qui contient de nouveaux résultats.
