GOUTTES REPOSANT SUR UN PLAN HORIZONTAL
surface libre de cette goutte est toujours donnée par l'équation
Cherchons son volume U. Le plan sur lequel repose la goutte étant pris pour plan des œy, ce volume est donné par
\] = I j z dœ dy.
Par suite
f7pU = I iT(^ -f- i-) dx dy -f Sjjrfo; dy.
Si la goutte est de révolution, et si r est le rayon de la circonférence de raccordement AB [fig. 56), on a
i j dx dy = T.r^.
D'autre part, nous avons vu (§ 12) que l'on a
Fig. o6.
^ 4-^) = scosa.
s étant le périmètre delà courbe de raccordement, et a l'angle du plan tangent à la surface en un point de cette courbe avec la verticale. En appelant cp l'angle de raccordement, on a cos tt = sin s. Par conséquent, il vient
5rpU=|27:rsin^ + p7rr2.
La constante p peut se déduire de la hauteur h de la goutte, quand cette goutte est large.
En effet, la goutte étant de révolution, les deux rayons de courbure sont égaux au point le plus élevé pour lequel Z := h. Par conséquent, on a
relation qui détermine p en fonction de R et de h. Dans le cas où la goutte est large on a sensiblement R = oo, et il vient
Faisons observer que nous avons admis que la goutte est de révolution. Cette hypothèse est légitime, car, si la goutte n'est pas de révolution, nous pouvons toujours trouver une goutte de révolution dont les sections par des plans horizontaux aient des aires égales aux sections de la goutte considérée par les mêmes plans. Les volumes des deux gouttes sont alors égaux, et nous pouvons regarder l'une comme résultant de la déformation de l'autre, la surface de contact avec le plan restant la même. Or, il serait facile de démontrer, comme nous l'avons fait, à propos des expériences de Plateau (§ 43), que la surface de la goutte de révolution est plus petite que celle de la goutte qui n'est pas de révolution. Par conséquent, quand on passe de celleci à l'autre, le travail des forces capillaires, qui se réduit à — ôj 8S, puisque la surface de contact avec le plan ne change pas, est positif. Le travail de la pesanteur a pour expression
8 /^pû dz
