DB" > CÂ
ATTRAG. OU REPULS. ENTRE DEUX LAMES 161 Cette condition peut être satisfaite aussi bien dans le cas où le liquide s'élève dans le voisinage de la lame (lame de verre dans l'eau) que dans celui où le liquide s'abaisse (lame de verre dans le mercure). Il faut dans le premier cas que le liquide s'élève plus le long de la face BD que le long de la face AC ; dans le second, que le liquide s'abaisse plus le long de BD que le long de AC.
62. Cette condition peut s'exprimer autrement. Nous avons vu précédemment (57) que, dans le voisinage d'une lame plane, la surface d'un liquide satisfait à l'équa-
tion
cos a = — — + Y,
Y étant une constante, x l'angle de la normale intérieure à la surface avec la direction positive de l'axe des z, et |x étant défini par la relation
Si nous considérons la portion de surface HC située en dehors des lames, nous devons avoir pour un point suffisamment éloigné des lames
a = o et
par suite y = 1 pour cette portion de surface.
Pour la surface comprise entre les deux lames, y peut avoir une valeur quelconque qui dépend de l'écartement des lames; soit C cette valeur.
Au point C, nous avons
•2' = CA cosa=:sin<p;
CAPILLARITK. i i
donc
sincp = -^+l.
Pour le point D,
^ = DB ; cos a =r sin ce,
et par suite
sin cp = — 1- L.
On a donc
DB' GÂ2^2a{C — 1), et par conséquent
X = gpl^[C- () = 1^(0-1)
Le signe de X dépend de la valeur de C. On voit qu'il y a attraction si C est plus grand que 1, répulsion dans le cas contraire. D'ailleurs, il est presque évident que, si l'on cherche la force X qu'il faut appliquer à la seconde lame pour la maintenir en équilibre, on doit trouver la même expression. On peut donc dire que X représente l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux lames.
63. Cherchons quel est le signe de X dans les divers cas qui peuvent se présenter ; nous ne supposons pas que les deux lames soient formées d'une même substance.
Supposons d'abord que les angles de raccordement des surfaces des lames et des surfaces liquides soient tous aigus. Au point D, l'angle a est négatif; au point D,, il est positif. Il existe donc un point de la surface DD^ pour lequel a est
ATTRAGT. OU RÉPULS. ENTRE DEUX LAMES 163 nul; pour ce point on a
z faut que Ton ait
et comme — est une quantité essentiellement positive, il
Il y aura donc attraction entre les lames.
Si nous supposons les angles de raccordement obtus, x est positif au point D, négatif au point D^. Par conséquent, il existe un point pour lequel a est nul, et l'on arrive encore à la conclusion précédente.
Quand les angles de raccordement avec Tune des lames sont aigus et que les angles de raccordement avec l'autre sont obtus, la surface DD^ coupe, en général, Je plan des xy [fig. 59). Par suite, z change de signe quand on passe de D en D^ et comme on a
le rayon de courbure change également de signe. Ce changement de signe ne peut se produire que si R devient infini. La courbe DD, possède donc un point d'inflexion. Or, si on construit les courbes représentées par l'équation
Fio. 59.
cos. = C-^^
en donnant successivement àC des valeurs inférieures, égales et supérieures à l'unité, on trouve que les courbes correspondant à des valeurs plus petites que 1 sont les seules qui puissent avoir des points d'inflexion à distance finie. Il faut donc que, dans le cas considéré, on ait C < 1, et il y a alors répulsion.
Mais les angles de raccordement peuvent être aigus pour l'une des lames et obtus pour l'autre, sans que la surface liquide comprise entre les lames coupe le plan des œy. Alors la courbe d'intersection de cette surface par le plan de la figure ne présente pas de point d'inflexion, et C doit être égal ou supérieur à l'unité. Dans ce dernier cas, il y a nécessairement attraction des lames ; quand C = 1 , il y a équilibre. Voyons quelles sont les formes des surfaces liquides qui correspondent à cet équilibre.
FiG. 60.
Puisque C = 1 la section de la surface libre du liquide appartient à la courbe
cos a = 1 — — •
Si l'on construit cette courbe en donnant à a toutes les valeurs comprises entre — tt et + 7t, on obtient la figure 60. Mais, en opérant avec des lames verticales, on ne peut obtenir
ATTRACT. OU REPULS. ENTRE DEUX LAMES IGo
toutes les portions de cette courbe, car, puisque tp est toujours compris entre o et tt et que l'on a a = 90° — ^ , « ne peut varier
qu'entre — - et -}- «' ^^^ portions de la courbe correspon-
dant à ces valeurs de a s'étendent depuis l'infini jusqu'aux points où la tangente à la courbe est verticale; ce sont donc les arcs aJ, a'ô', a, J, , a\h\. De plus, puisque la surface libre du liquide devient plane à une distance suffisamment grande des lames, la section de la surface liquide située à gauche de la lame L est nécessairement une portion de ah ou de dh' ; pour la même raison, la section de la surface liquide située à droite de la lame L^ est une portion de h^a^ ou de h<,a[.
Supposons que l'angle de raccordement avec L est aigu,
fi
FiG. 61.
et l'angle de raccordement avec L, obtus. Les seules portions de courbe qui peuvent alors convenir en dehors des lames sont ab pour la gauche, et a^h^ pour la droite. Entre les deux lames on peut avoir une courbe symétrique, soit de la portion utilisée de «è, soit de la portion utilisée de a^b^^ car il est évident que, dans les deux cas, les angles de raccordement de la surface libre intérieure aux lames avec ces
lames seront respectivement ég'aux aux angles de raccordement extérieurs. Les figures 61 et 62 représentent les sections des trois surfaces libres dans ces deux cas. On voit facilement que, dans le premier, la somme ç -j" ?i ^^s angles du raccordement est plus petite que deux droits, tandis qu'au contraire cette somme est plus grande que deux droits dans le second.
Il reste à voir si l'état d'équilibre qui correspond à ces formes de surfaces libres est stable ou instable. Si nous
FiG. 62.
rapprochons les lames, la longueur des arcs DD, diminue, mais l'angle DOD^ formé par les tangentes en D et D^ reste constant, puisque les angles de raccordement ne varient pas. Par conséquent, la valeur absolue du rayon de courbure en
un point de ces arcs diminue et, puisque z ^ ^^ la valeur
absolue de z augmente. Il en résulte que l'équation
cos a =: C — —
satisfaite primitivement pour G = 1, ne peut plus l'être maintenant que pour des valeurs de C supérieures à l'unité.
