POUSSÉE ÉPROUVÉE PAR UN CORPS DE REVOLUTION
Évaluons maintenant le travail de la pesanteur.
Puisque le corps est en équilibre, son poids est égal et directement opposé à la poussée qu'il reçoit de la part du liquide. Celle-ci ayant été désignée par X, le travail de la pesanteur s'exerçant sur le corps est, dans le déplacement considéré,
Xt.
Le travail des forces dues à la pesanteur et s'exerçant sur le liquide est égal à la variation du moment de ces forces par rapport à un plan horizontal, par exemple le plan qui passe par la surface libre du liquide loin du corps. Ayant supposé que, dans le déplacement virtuel donné au système, la surface libre n'a fait que s'étendre jusqu'au contact du corps, cette variation se réduit à
Tp = — mom. de GDD' -|- mom. de ELG + niora. de AB'EL,
ou
T;, = — mom.deLHGD'-fmom.deEHGD + mom.deAB'EL.
Or, on peut écrire mom. de LHGD' = mom. de E'H'GD' + mom. de LE'HH',
EE' étant une verticale menée par le point de rencontre E du plan des xy avec le méridien du corps. Le volume LE'HH' diffère peu de celui d'un cylindre droit de hauteur HH'=: e; il est donc infiniment petit du premier ordre, et son moment par rapport au plan des xy est du second ordre. On peut, par suite, négliger ce moment, et il vient
T^=- (mom. deE'H'GD'-mom.deEHGD) + mom. de AB'EL.
Mais E'H'GD' n'est autre que le volume EHGD déplacé ; par suite, la différence de leurs moments est égale au produit du déplacement vertical s par le poids de l'un de ces volumes ; on a donc
Tf, = — egp vol. EHGD + mom. de AB'EL.
Il nous reste à évaluer le moment du volume liquide AB'EL. La surface du triangle AA'B' étant infiniment petite du second ordre, le volume engendré par la rotation de ce triangle peut être négligé par rapport au volume engendré par AA'EL, de sorte que l'on a approximativement
mom. de AB'EL = mom. de AA'EL,
ou encore
mom. de AB'EL = mom. de AEF — mom. de A'LF
F étant le point de rencontre de la verticale AA' avec le plan des xy. Si nous prolongeons cette verticale d'une longueur FF' égale à e, nous obtenons un triangle A'E'F' engendrant un volume dont le moment ne diffère du moment du volume A'LF que d'une quantité infiniment petite du second ordre ; par suite,
mom. de AB'EL — mom. de AEF — mom. de A'E'F'.
Les volumes engendrés par AEF et A'E'F' étant égaux, la différence de leurs moments, par rapport au même plan horizontal, est égale au produit du poids de ce volume par la quantité i dont on abaisse le centre de gravité. On a donc enfin
mom. de AB'EL = tgp vol. AEF
POUSSÉE ÉPROUVÉE PAR UN CORPS DE RÉVOLUTION 171 et, par suite,
Tp = — egp vol. EIIGD -{- 6<7p vol. annulaire AEF.
Si nous écrivons maintenant que la somme de ces divers travaux est nulle, nous obtenons
T^ + X£-^T^ = ^27:r£Cosx + X£-£^p(vol.EHGD-vol.AEF) = o
d'où
X = — ^ 27rr cosa -f go (vol. EHGD — vol. AEF).
Telle est l'expression de la poussée subie par le corps flottant.
Si la surface libre du liquide était plane, la poussée aurait pour valeur
^pX vol. EHGD.
On voit donc que, si a est aigu, comme dans le cas de la figure 63, les phénomènes capillaires ont pour effet de diminuer la poussée. Mais, si l'angle de raccordement cp est obtus, l'angle a est, en général, également obtus ; de plus, il est facile de s'assurer que le terme gp vol. AEF doit être pris avec le signe -{- quand le point A est au-dessous du plan des xy. Par conséquent, les phénomènes capillaires peuvent avoir quelquefois pour effet d'augmenter la poussée et, par suite, de permettre l'équilibre d'un corps placé sur la surface d'un liquide moins dense.
65. Montrons-le pour un cylindre à génératrices verticales ABCD {/îg. 64). Donnons à ce cylindre un déplacement vertical virtuel ne changeant pas la surface libre du liquide.
172 PROBLÈMES OU LA PESANTEUR INTERVIENT Le travail des forces capillaires se réduit à
£ étant le déplacement, et / le périmètre de la section droite du cylindre. Le travail du poids P du cylindre est Pe.
Celui de la pesanteur sur le liquide résulte de la suppression du cylindre ABA'B'; il est donc
gpQtz
