EXPRESSION DU VOLUME LIQUIDE

tube cylindrique de section quelconque. — Considérons un tube cylindrique, dont la section droite est quelconque, plongé dans un liquide.

Prenons pour plan des xy le plan horizontal de la surface libre du liquide en dehors du tube, et pour axe des z une normale à ce plan dirigée vers le bas.

Le volume U du liquide ABCD [fîg. o), qui se trouve dans le tube au-dessus du plan des xy^ a pour expression

U = — / / zdxdy^

FiG. 5.

Z étant l'ordonnée d'un point de la surface libre et l'intégration étant étendue à la section droite du tube.

Or, nous avons trouvé (9) pour l'équation de la surface libre dans ce système d'axes

par conséquent, il vient

5rU =

^ik^ky-^^-

Appelons ?, m, n les cosinus directeurs de la normale en un point de la surface libre. Les rayons de courbure principaux

passant par ce point satisfont aux équations

dm - , dm , 1 ,

-dœi--dy = -^dy,

dx, dy étant proportionnels aux cosinus directeurs de la tangente à la ligne de courbure. On peut les écrire

un

\dx r)^^^ + |^'^=«' dm , , (dm 1\ ,

on en déduit

dl 1 \ fdm 1^ 1 \ ^^f dm

,(7^ "^ R; V"^ '^ r) ~ 1^ d^ ~ ^' ou

{ ^\^ j ^ / ^l , dm\ dl^ dm d^ dm

\Y\) "^ R \dx + dy )'^Txlii~ dylbc^^'

Par conséquent, nous avons

J^ 1 ^ ( dl j^ dm\

Rj + R, "■ ~ Vrf^ "T~ l^j'

et l'expression de gW devient

ou en remplaçant l'intégrale double du second membre par une intégrale curviligne étendue à la section droite du tube

g\] z= ^-^f[ldy — mdx).