ATTRACTION SUR UN CYLINDRE LIQUIDE
Or, les points qui, comme D, appartiennent à la surface inférieure du volume T sont à une distance finie des molécules du volume T'T". Par suite, le potentiel de ce dernier volume en ces points est sensiblement nul et nous pouvons écrire V, = o. Les points, tels que C, qui appartiennent à la surface supérieure limitant le volume T, ne sont pas tous à distance finie des molécules du volume T'T"; Y^ n'est donc pas toujours nul. Par conséquent, la composante verticale cherchée a pour expression
I / VnC^CO.
Mais nous avons trouvé pour le potentiel en un point voisin de la surface limitant un volume quelconque
2 U, ^rJ
La quantité 0^ (e) étant toujours très petite, nous pouvons négliger le terme qui contient cette quantité en facteur et prendre V^ = ^ (s). Dans ces conditions, nous avons pour la composante verticale de l'attraction
Quand le volume T dépasse le volume T'T" par la partie supérieure, le potentiel Vq est nul, mais V, a pour valeur 6 (e). Par conséquent, la composante verticale de l'attraction est donnée par l'intégrale précédente prise avec le signe -\-.
Dans le cas où le volume T dépasse le volume T'T" en haut et en bas, les divers points tels que C et D sont à des
distances finies du volume T'T". Alors V^ et Vq sont nuls et la composante verticale de l'action de T'T'' sur T est nulle. Si le volume T'T" dépasse les surfaces limites supérieure et inférieure du volume T, les potentiels deT' aux divers points de ces surfaces ne sont pas nuls. Mais en deux points C etD,
appartenant à un même cy-
lindre élémentaire, les potentiels V^ et Vq sont égaux. Par -j." conséquent, la composante verticale de l'action de T'T" sur T est encore nulle.
Passons au cas où les deux volumes T et T'T" sont limités supérieurement par un même plan horizontal [fïg.l), la partie inférieure du volume T'T" dépassant celle du volume T.
Décomposant encore le volume T en cylindre CD de section doi, nous avons pour la composante verticale de l'attraction de T'T " sur T
FiG. 7.
ff[y,-y,)cho.
Pour les points de la surface limitant inférieurement T le potentiel de l'action du volume T'T" est
Pour ti-ouver V< prenons un volume T,'TJ, symétrique du volume T'T" par rapport au plan horizontal. Par suite de cette symétrie, le potentiel en C du volume TjTJ est égal au potentiel du volume T'T". Ce dernier étant désigné par Vq le
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potentiel du volume T'T" + "T^T,' est SVq. Or, le potentiel de T'T" -f- T,'Ti' est approximativement 9 (e). Par conséquent
2Vo = 6 (s)
et la composante verticale de l'attraction de TT" sur T devient
jfi
Ainsi, dans les dilïereiits cas qui peuvent se présenter, cette composante est nulle, ou bien égale à l'intégrale (12), ou encore à l'intégrale '13), qui est la moitié de la précédente.
14, Calculons donc l'intégrale (12).
Soit C (Jig. 8) la section droite du cylindre qui sépare les deux volumes. En deux points infiniment voisins A et B de cette courbe menons les normales et traçons deux courbes C et C" parallèles à C, la première à une distance e, la seconde à une distance s -f- de. Nous formons ainsi un élément de surface ABWE" dont le côté A' A" a pour longueur dt C et dont le côté A'B' a sensiblement pour longueur l'élément de courbe AB = c?s, puisque C et C sont deux courbes parallèles très
voisines. Prenons cet élément comme section du du cylindre élémentaire CD considéré précédemment. Nous avons alors pour l'intégrale cherchée
fffi{ci dio =ff^ (0 d^ds = sff} U) de.
30 THÉORIE DE LAPLAGE
L'une des limites de e est 0; l'autre est supérieure au rayon d'activité moléculaire, puisque celui-ci est excessivement petit. Comme pour les distances plus grandes que ce rayon, 6 (e) est sensiblement nul, nous pouvons prendre 0 et X comme limites de la dernière intégrale.
Nous avons donc pour cette intégrale
fb'it) di=[tb {s.)f— f To' (e) dt.
Vf 0 0 «^ 0
Mais les fonctions 6 (e) et 6^ (e) sont définies par (3) 0 (e) = rirr'l/ (z) dz, 0, (e) —C^izZ 'h [z) dz.
Par conséquent
0'(e) = -27:^(e), et par suite
/ eO'(£) dz = — 27r£4/ (a) dt =^ — d ^ (o).
T. a quantité [e 6 (e)]^ est nulle, puisque pour la limite 0 le premier facteur est nul et que pour l'autre limite c'est le second facteur qui s'annule. Il vient donc
et
f^[t)dt=--B,[o), jye (s) do) = s B^ (o). (14)
15. Nouvelle expression du volume soulevé dans un tube capillaire. — Servons-nous de ces quantités pour
