A.TTRAGTION SUR UN CYLINDRE LIQUIDE

potentiel du volume TT" + TjTJ est Vf^. Or, le potentiel de rji/rji/sr | f /jjr gg^ approximativement (e). Par conséquent

2V. = ô (e) et la composante verticale de l'attraction de TT'^ sur T devient

^ rfo.. (13)

Ainsi, dans les différents cas qui peuvent se présenter^ cette composante est nulle, ou bien égale à l'intégrale (12)^ ou encore à l'intégrale (13), qui est la moitié de la précédente.

14, Calculons donc l'intégrale (12).

Soit C {/îff, 8) la section droite du cylindre qui sépare le» deux volumes. En deux points infiniment voisins A et B de cette courbe menons les normales et traçons deux courbes C et C'^ parallèles à C, la première à une distance e, la seconde à une distance e + de. Nous formons ainsi un élément de surface A'B'A"B'^ dont le côté A' A'' a pour longueur dt C et dont le côté A'B' a sensiblement pour longueur l'élément de courbe AB = ds^ puisque C et C sont deux courbes parallèles très

voisines. Prenons cet élément comme section dm du cylindre élémentaire CD considéré précédemment. Nous avons alors pour rintégrale cherchée

^O(e) dio =ff^ (e) deds = sf^ (e) e/e.

30 THÉORIE DE LAPLAGE

L'une des limites de e est 0; l'autre est supérieure au rayon d'activité moléculaire, puisque celui-ci est excessivement petit. Comme pour les distances plus grandes que ce rayon, Q (e) est sensiblement nul, nous pouvons prendre et œ comme limites de la dernière intégrale.

Nous avons donc pour cette intégrale

A^e) dt = [tb {t)f— f Te' (e) di.

Mais les fonctions ô (e) et ô^ (e) sont définies par (3) (e) = rlTT']/ {z) dz, 6, (e) —Çl-rzz^ [z) dz.

Par conséquent

0'(e)z=-27r^(s), et par suite

re0'(e) d% = — / ^Trei}/ (s) c/e = — 0^ (o).

La quantité [e (e)]* est nulle, puisque pour la limite le premier facteur est nul et que pour l'autre limite c'est le second facteur qui s'annule. Il vient donc

C^(t) dt == ô, (o), et

JJb (g) diù = sB^ (o). (14)

15. Nouvelle expression du volume soulevé dans un tube capillaire. — Servons-nous de ces quantités pour

trouver une nouvelle expression du volume soulevé dans un tube capillaire.

Outre ce volume U [fig, 9), considérons le volume U' limité par le plan CD, la surface EF et le prolongement de la surface cylindrique du tube et écrivons que le volume total U + U' est en équilibre sous l'action des forces qui agissent sur

lui. 4L..'....JL

Ile Ul I

Ces forces sont :

1** Son poids

la densité du liquide étant prise pour unité ;

2® La pression at- Fie 9-

mosphérique ^qÛ qui s'exerce sur la surface- AB du ménisque;

3*^ La pression hydrostatique H sur la surface EF;

4** L'attraction du liquide T' qui entoure le prolongement, attraction qui a pour composante verticale

ffe{z)du>=sQ,{o);

5** L'attraction du tube de verre. Comme celui-ci dépasse le volume liquide U + U' par la partie supérieure, la composante verticale de son attraction est donnée par l'expression précédente changée de signe. Mais, pour distinguer Faction d'un liquide sur un liquide de celle d'un solide sur un liquide nous désignerons par tj (e) la fonction de e corres-

32 THÉORIE DE LAPLAGE

pondant à 9 (e), et nous aurons pour la composante verticale de l'attraction du verre

— s Yi^ (o) ;

6^ Enfin, Tattraction du volume T" située au-dessous de U ' et dont la composante verticale sera désignée par H' .

Puisque le liquide est supposé en équilibre, la somme algébrique des composantes verticales de ces forces doit être nulle ; par suite

^ (U + U') +Poû - H + H' -.71, (o) + 50, (o) = o.

Pour éliminer les quantités PqQ, H et H', écrivons que le volume U/ de liquide, égal à U, mais situé à une distance suffisante du tube pour que C^D, soit horizontal, est en équilibre sous Faction des forces qui le sollicitent.

Ces forces seront : le poids ^U', la pression atmosphérique PqQ, la pression hydrostatique H, l'attraction H' du volume ï/', enfin, l'attraction du liquide T/, laquelle a pour composante verticale, d'après (13) et (14)

On a donc

g\}'+p,Q-ll + li' + U,(o)=o

et la relation précédemment écrite devient

gV = * [v,, (0) - ^-^^y (13)