Loi de Jurin. Loi de Laplace. — Supposons que
LOI DE JURIN. LOI DE LAPLAGE 33
le tube forme intérieurement un cylindre de révolution de très petit diamètre d. Le volume U soulevé est très sensi-. blement celui d'un cylindre de même diamètre et ayant pour hauteur la distance js du point le plus bas du ménisque au plan horizontal formant la surface libre du liquide au-delà du tube ; par suite
Or, d'après la relation (15), ^U est égal au périmètre
s = TTC? du tube, multiplié par une constante A = tj^ — -r*» Par conséquent
d'où
La théorie de Laplace conduit donc à cette conclusion que, dans un tube de très petit diamètre, la hauteur du liquide soulevé varie en raison inverse du diamètre du tube. C'est la loi énoncée pour la première fois par Borelli en 1670, puis par Newton en 1704, et enfin en 1708 par Jurin, physicien anglais dont elle porte le nom.
Supposons que la section droite du tube est un rectangle ayant pour côtés a et 6, l'un d'eux, a, étant très petit. Nous aurons
et sensiblement
U = abz.
34 THÉORIE DB LAPLAGB
La relation (15) donne donc
gahz = 2A (a + ô),
d'où
2Aa + h g ab
Si le côté b devient infini, ce qui a lieu pratiquement quand on considère Tascension d'un liquide entre deux lames parallèles très rapprochées, il vient
En comparant cette expression à l'expression (16), on voit que la hauteur soulevée dans un tube cylindrique de révolution est double de celle qui est soulevée entre deux lames parallèles dont Técar^ment est égal au diamètre du tube. C'est la loi connue aujourd'hui sous le nom de loi de Laplace et dont la démonstration expérimentale est due à Newton.
Ainsi la théorie de Laplace explique les deux lois les plus anciennement connues des phénomènes capillaires.
17. Sur Fangle de raccordement. — La comparaison des expressions (10) et (15) trouvées pour ^U nous fournit l'égalité
' 2 /^* cosç = s [-/i^ (o) — e^ (o)].
Si nous posons
jds cos cp = 5 cos QpQ,
SUR l'angle de raccordement 35
<fQ est Fangle de raccordement moyen, et il vient
cos (po = -% ^•
y\^ et B^ étant des constantes pour un même liquide et un même solide. On voit que Tangle de raccordement moyen est une constante. C'est tout ce qu'on peut déduire logiquement de la théorie de Laplace. Elle ne permet donc pas, comme le fait Laplace, de supposer que Fangle de raccordement luimême est constant. Il est vrai que, dans les cas particuliers d'un tube cylindrique de révolution et de deux lames parallèles très rapprochées, cette constance est évidente par raison de symétrie.
Quoi qu'il en soit, admettons avec Laplace que l'angle «p a la même valeur en tout point de la courbe de raccordement. Nous avons alors
cos © = —^ *•>
Q^ el 7^1 étant des quantités positives cet angle sera
aigu si ' âïj, > 0^,
obtus si 2t„ < d^,
droit si 'i^l\^ = ô^,
nul si Tj^ = ®r
Si 7|, était plus grand que ©,, la formule précédente conduirait à une valeur du cosinus plus grande que i et deviendrait illusoire. Laplace admet que, dans ce cas, le liquide mouille le solide et que celui-ci se recouvre d'une gaine liquide, de telle sorte que tout se passe comme si B^ et iri4 étaient égaux.
36 THÉORIE DE LAPLAGE
Comparons ces résultats à ceux que Laplace a obtenus dans son premier Mémoire. Des conclusions trouvées (10) et (11) il résulte que Tangle est
aigu si 2p > p',
obtus si 2p < p',
droit si 2p = p',
nul si p = p'.
Ces résultats ne diffèrent donc de ceux du second Mémoire que par la substitution de p à yj^ et de p' à 0| . Ils sont identiques si p et û' sont respectivement proportionnels à tj^ et 0^ . Or, c*est ce qui a lieu si, comme l'admet Laplace, les lois d'attraction des molécules solides sur les molécules liquides sont les mêmes que celles de l'attraction des molécules liquides entre elles, les intensités des forces attractives ne différant que par un facteur constant.
18. Nouvelle manière d'obtenir l'équation de la surface libre. — Nous avons vu comment Laplace obtient l'équation de la surface libre d*un liquide dans le voisinage d'un paroi solide
- = ^ (il; + éù- '»>
Disons maintenant quelques mots d'une autre méthode employée par Laplace pour arriver à cette équation.
Dans Tétat d'équilibre, les forces s'exerçant sur .une molécule de la surface du liquide ont une résultante normale à cette surface. Par suite, le travail virtuel résultant d'un déplacement d'une molécule superficielle dans le plan tangent à la surface libre doit être nui. Le travail virtuel de
MANIÈRE d'obtenir l'ÉQUAT. DE LA SURFACE LIBRE 37
la pesanteur est glz\ si nous désignons par 8J celui des forces capillaires, nous aurons
glz + 8J = o,
et pour avoir 8J il suffira de considérer la composante tangentielle des forces capillaires, le travail de la composante normale étant nul dans le déplacement virtuel considéré.
Prenons un système d'axes de coordonnées ayant pour origine un point de la surface libre, Oz étant la normale à la surface, Ox et Oy les tangentes aux indicatrices du point O. L'équation de la surface rapportée à ces axes est
z =z ax^ + hy^ + cx^ + Seaj^y + ^fxy^ -f- hy^ + .. ,
et celle du paraboloïde osculateur
z = ax'^ -]- by'^.
L'attraction exercée par le liquide limité par ce paraboloïde sur la molécule située en O est évidemment, par raison de symétrie, dirigée normalement à la surface. Pour avoir la composante tangentielle des forces capillaires s'exerçant en 0, il suffit donc de considérer le liquide compris entre la surface libre et le paraboloïde osculateur.
Dans le plan des xy prenons un élément de surface ABCD [fig. iO), pio. 10.
limité, d'une part, par deux arcs de cercle AB et CD ayant pour rayons p et p + rfp, et, d'autre
38 THéORIB DE LAPLACB
part, par deux droites passant par Torigine et faisant des angles e et ô + c?© avec Oœ.
Menons par le contour de cet élément des parallèles à la normale en O. Nous obtenons un cylindre découpant sur la surface libre S du liquide un élément G et sur la surface S du paraboloïde osculateur un élément G'. La portion du cylindre comprise entre G et G' est un élément du volume dont nous avons à chercher la composante tangentielle de l'attraction sur O. En désignant par z et par z' les distances des éléments G et G au plan des xy^ on a pour le volume de cet élément
du-=. {z — ^) p dOdçt,
z — z ayant pour valeur
z — y = cœ^ -j- 3eœ^y + 3/2ry^ -f" ^y' "f" •••
Pour que ce volume du exerce une action appréciable sur O, il faut que sa distance à ce point soit inférieure au rayon d'activité moléculaire. Si ce rayon est considéré comme un infiniment petit du premier ordre, œ et y doivent être également du premier ordre, et alors ^ et -8^ sont du second. On peut donc considérer tous les points du petit cylindre FG' comme étant à la même distance du point 0, c'est-à-dire admettre que tous les points de l'élément du sont aune même distance p de O. Pour les mêmes raisons, on peut regarder toutes les droites joignant le point O aux divers points de du comme formant le même angle B avec l'axe des œ. Par suite, la composante suivant cet axe de l'attraction exercée par du sur le point O a pour expression
du f (p) cos 6,
MANIÈRE d'obtenir l'ÉQUAT. DE LA SURFACE LIBRE 39
et celle du volume compris entre la surface libre et le paraboloïde est
Cdu f{p) cosO = C{z — ^) p /• (p) cos ô dQ rfp,
variant de à 2:: et p de à la valeur du rayon d'activité moléculaire, ou, ce qui revient au même, de à « .
Or, — ne dépend que de 0, car
- = cosO, ^ = smô,
et par suite
^ 3 ^ = c cos' Q -f- 3(? sin ô cos* ô + S/'sin* cos -f" ^ «î^^ ®
L'intégrale précédente peut donc s'écrire
/ ^-=^ cos 9 rfe/?/" (p) ^9-
Si nous appelons B la valeur de l'intégrale définie par rapport à p et si nous effectuons l'intégration par rapport à 0, il vient
c fcos*BdB + 3e fcos^B sin B dB + Sffcos^Bsin^BdB
+ Arcôs9sm»erf9 = ^c+— /• = ^(c+/)
et pour la double intégration
De la même façon, nous trouverions pour la composante suivant Oy de Fattraction cherchée
et, par conséquent, nous avons pour le travail virtuel des forces capillaires
Il reste encore à introduire les rayons de courbure. Or, on a
JL I JL — /^ 4. û^\ R^'^Rj"" \dœ'^ dy)
et
d£ dz
dœ dy
v/(i)"+(i)"^' \/(âr+(i)'+'
Mais 00 eiy étant des infiniment petits du premier ordre, les dérivées
£ = 2aa? + 3ca?» + 6ea?y + 3/y^ ^ = ^hy + 3ea?» + %fœy + Zhy\
sont aussi du premier ordre. Par suite, leurs carrés sont négligeables vis-à-vis de Tunité, et Ton a approximativement
dz dz
dœ dy
MANIÈRE d'obtenir l'ÉQUAT. DE LA SURFACE LIBRE 41
Il en résulte
— -- 2a + ^cx + 6ey, 8^=6 {clx + eZy), ^ = 2è -1- 6/Sr + 6A.y,
Kâ + ^) =" ® [(e + /) 8a; + (e + A) Sy],
et par conséquent
, , Bit / 1 , 1 \
On a donc enfin pour l'équation de la surface libre
Bit / 1 , i\
dont la forme ne diffère pas de celle de Téquation (8).
