CHAPITRE II

19. Bases de la théorie de Gauss. — Comme Laplace, Gauss considère les corps comme formés de molécules s'attirant les unes les autres, suivant les droites qui les joignent deux à deux, avec une intensité proportionnelle à leurs masses et dépendant de la distance.

D'après le principe des vitesses virtuelles, la somme des travaux virtuels est nulle quand on donne au système en équilibre un déplacement virtuel compatible avec les liaisons. Cherchons ces travaux pour un liquide pesant en contact avec des parois solides.

Si U est le volume du liquide, dont nous continuerons à prendre la densité pour unité, le travail virtuel de la pesanteur est

Taxe des z étant vertical et dirigé vers le bas. En représentant par

mnif (r).

fiA.SES DE LA THEORIE DE GAUSS 43

Fattraction de deux molécules liquides, le travail correspondant à un accroissement Sr de la distance est

— mw!f (r) 8r = mm' 8 <p (r),

la fonction cp étant définie comme dans le § 1.

Celui qui résulte d'un déplacement d'une molécule solide par rapport à une molécule solide est

— m\t,f^ (r) Br = m|x8<p| (r).

Par conséquent, Tapplication du principe des vitesses virtuelles fournit Téquation

^U8^ + V mm'8 <p (r) + V mp. Scp^ (r) = o.

Si Ton pose

2mm'(p(r)=W,

et si Ton suppose le fluide incompressible, ce qui permet d'écrire

cette équation devient

Telle est la relation dont Gauss déduit Téquation de la surface libre et la valeur de l'angle de raccordement. Remarquons que la fonction

a*est autre que l'énergie potentielle du système. Il sera donc

facile, en général, de reconnaître si l'équilibre est stable, car on sait qu'il y a stabilité de l'équilibre quand Ténergie potentielle passe par un minimum. C'est là un des avantages de la méthode de Gauss sur celle de Laplace.