CHAPITRE PREMIER

1. Bases de oette théorie. — Laplace admet que deux molécules d*un liquide exercent entre elles une attraction dirigée suivant la droite qui les joint, proportionnelle à leurs masses et dépendant, suivant une loi inconnue, de la distance qui les sépare.

Cette attraction a donc pour expression

mw'/*(r),

m et m étant les masses des molécules, r leur distance, et f{r) une fonction inconnue de cette distance.

Mais ces hypothèses ne sont pas suffisantes. Clairaut, en effet, les avait énoncées une cinquantaine d'années avant Laplace et n'avait pu en déduire Texpiication des phénomènes capillaires. Aussi Laplace admet-il, en outre, que la force attractive décroît rapidement quand la distance des molécules augmente, et qu'elle devient insensible dès que cette

THEORIE DE LÂPLÂGE

distance dépasse une valeur très petite que Ton appelle rayon d activité moléculaire. En d'autres termes, Laplace suppose que la fonction

^[r)=fj{r)dr

est sensiblement nulle quand r est plus grand que le rayon d'activité moléculaire.

Par suite des premières hypothèses, les forces moléculaires admettent un potentiel

dont les dérivées partielles ^' â~' ^représentent les composantes suivant trois axes de la force attractive s'exerçant sur une masse 1 située au point x^ y, z et due à l'action des molécules de masse m.

Si Tensemble de ces molécules forme un volume, l'expression du potentiel devient

V =///p dx <p (r),

(fr désignant un élément de volume, p la densité de cet élément et l'intégration étant étendue au volume considéré.

Une nouvelle hypothèse de Laplace permet de simplifier cette expression. Laplace admet, en effet, que la densité est constante. Cette hypothèse n*est pas légitime, car il est probable que la densité en un point situé à une distance de la surface du liquide moindre que le rayon d^activité moléculaire» n'a pas la même valeur qu'en un autre point dont la

POTENTIEL d'une COUCHE SPHÉRIQUB 3

distance à la surface est plus grande que ce rayon. Quoi qu*il en soit de son exactitude, elle conduit à Texpression

V = p///f(r)dT;

et, si nous prenons pour unité la densité du liquide considéré, nous avons

V=///<p(r)rf,.

2. Potentiel d'une couche sphérique infiniment mince. — Soient p et p-}- dp les rayons des deux sphères qui limitent la couche, et soit a la distance du centre commun O (/îg. i) de ces sphères au point P, pour lequel nous

Fio. 1.

voulons la valeur du potentiel. Prenons pour plan de la figure un plan quelconque contenant PO et menons dans ce plan deux rayons faisant avec OP des angles 6 et 6 -|- o?ô. I/élément M ainsi déterminé a pour surface pdb dp, et le volume qu'il engendre en tournant autour de PO a pour valeur

27rp sinô p db dp.

Tous les éléments de ce volume étant à la même distancer

THÉORIE DE LÀPLAGE

du point P, le potentiel en ce point dû à ce volume est

rfV = 27cp2sin0 c?prf6 (p(r).

Par conséquent, le potentiel de la couche sphérique a pour valeur

V ~ 27cp2 4 /"(p (r) sin 6 db.

Mais le triangle POM fournit la relation

r^ = p« -|- a^ — 2«p cos 6, d'où

rdr = ap sin 6 rfô.

Nous pouvons donc écrire

V = 27U ^ rfp fr o (r) dr,

a t/ro '

r^ désignant la distance PA, r^ la distance PB. Posons

/ r (p (r) rfr =: '} (r) ;

la fonction ^ ainsi définie aura une valeur sensiblement nulle pour toute valeur de r supérieure au rayon d'activité moléculaire, puisque, pour ces valeurs, la fonction {p(7») est presque nulle par hypothèse.

Introduisons cette fonction ^ dans Texpression de V. Nous avons

Çr<i^[r) dr =fr^{r] dr+fr^{r) dr = ^(ro) — +(r<).

Mais, si p est fini, la distance r^ est nécessairement plus

POTENTIEL d'une SPHÈRE PLEINE 5

grande que le rayon d'activité moléculaire. Par conséquent, ^(rj est négligeable, et nous avons simplement

V = 2u ^ rfp 4- (r,), (1)

cette quantité devenant elle-même négligeable quand r^ devient fini.

La figure a été tracée dans Thypothèse que le point P est extérieur à la couche sphérique. Mais le raisonnement s'applique également au cas où le point P est intérieur. La seule différence est que r^, dont la valeur est a — p dans le premier cas, devient p — a dans le second.

3. Potentiel d'une sphère pleine. — Considérons d'abord le cas où le point P est extérieur à la sphère.

Si le point est à distance finie de la surface, les forces attractives exercées sur la masse placée en ce point par toutes les molécules de la sphère sont négligeables; par conséquent, le potentiel est sensiblement nul.

Supposons le point P à une distance très petite s de la surface. Décomposons la sphère en couches sphériques concentriques d'épaisseur dp ; chacune d'elles a pour potentiel enP

Par conséquent, le potentiel de la sphère entière est

=Ih

rfp ij; (a — p).

R étant le rayon de la sphère.

6 THéORIB DB LAPLAGB

Si nous posons ce potentiel devient

Mais a étant fini et la fonction ^ {z) sensiblement nulle pour toute valeur finie de la variable, on a approximativement

/ 2ic «J/ [z) dz = o^ I %:z ^ [z) dz = o,

Va Va

et par suite

Ç\i:^ {z) dz =:f2Tz^(z) dz+J^K'^ (z)dz=f2n^{z) dz = 0{B),

C2izz^(z)dz = f2'KZ^z)dz+f^'KZt^{z)dzz=f2'KZ^z)dz=b^ (r).

Nous avons donc pour le potentiel en P

Nous ignorons la forme de ces fonctions ô et 6^ , puisque op et ^ sont inconnues. Nous voyons, toutefois, que 6 et 6^ sont sensiblement nulles pour toute valeur finie de e, puisque ^ jouit de cette propriété. Nous pouvons ajouter que b^ est beaucoup plus petit que 6, car pour les petites valeurs de ^, les seules qui soient à considérer d*après ce qui précède, l'élément différentiel 2t:z^ (z) dz est plus petit que Stu^J/ (^) dz.

Cette dernière propriété permet de modifier l'expression

POTENTIEL d'une SPHÈRE PLEINE 7

de y. En effet, quand s est très petit, a est très peu diffé* rent de R. Puisque 6^ est alors très petit par rapport à 6 nous ne changerons pas sensiblement la valeur de Y en

remplaçant le coefficient - de 6^ par le facteur p- Il vient

donc