Passons au cas où le point P est intérieur à la sphère
Lorsque la distance du point à la surface de la sphère est finie, l'action qu'exerce sur P une molécule extérieure à la sphère est négligeable, puisque la distance de cette molécule au point P est alors supérieure au rayon d'activité moléculaire. Nous pouvons donc, sans rien changer à la valeur du potentiel en P, remplacer la sphère par une autre sphère de même matière, ayant un rayon infini et son centre en P. Décomposons cette sphère en couches sphériques concentriques de rayon r et d'épaisseur dr. Le potentiel en P d'une de ces couches est
Par suite, le potentiel de la sphère entière est
V = fAnr^dr<^{r),
Cette intégrale est une constante A. Le potentiel d'une sphère pleine en un point intérieur, situé aune distance finie de sa surface, est donc une constante.
Supposons maintenant le point à une distance excessivement petite c de la surface. En décomposant la sphère en couches concentriques infiniment minces, le point P est exté-
8 THÉORIE DE LAPLAGB
rieur aux unes et intérieur aux autres. Le potentiel de chacune d'elles est représenté par la formule (i), où 7*^ doit être remplacé par a — p ou p — a, suivant que P est extérieur ou intérieur à la couche considérée. Le potentiel de la sphère entière est donc
V=: /27c^rfp^/(a — p)+ J27r£rfpi|;(p — a).
Considérons la première intégrale. En posant z =z à — p, elle devient
/ 27r ^-=^ ^ (z) dz=l 2i:^{2)dz^^ I ^itz^ [z) dz.
Puisque a est fini et que la fonction ^ est sensiblement nulle pour toute valeur finie de la variable, on peut remplacer les limites supérieures a des intégrales du second membre par rinfini ; par suite, ces intégrales sont des constantes et il en est de même de la première intégrale de l'expression deV.
La seconde intégrale de cette expression devient, en posant p — a = ^
/ 27r ^^i-^ ^ [z) dz = \%:^ {z) dz -f ^f^-^^^ {^) dz.
Les deux intégrales du second membre sont celles que nous avons eu à considérer dans le cas où P est extérieur à la sphère. Par conséquent, toutes deux sont des fonctions de c. Si nous faisons entrer dans Tune de ces fonctions la constante qui représente la valeur de la première intégrale
POTENTIEL d'un VOLUME DE REVOLUTION 9
de V, nous pouvons donc écrire pour Texpression de ce potentiel
Il est évident que ces fonctions ne sont pas identiques à celles qui entrent dans Texpression (2) . Si nous comparons l'expression précédente de V avec la valeur V = A du potentiel pour un point intérieur à distance finie de la surface, nous voyons que 6^ (e) doit tendre vers A et 6^ (e) vers zéro quand s devient fini.
Cette dernière propriété de la fonction 6^ (e) permet de rem-
placer - par le facteur g > qui en diffère peu quand e est petit.
On retombe donc sur Texpression du potentiel obtenue pour un point extérieur, mais ô et 6| ne désignent pas les mêmes fonctions dans les deux cas.
En résumé :
1° Sf le point est extérieur et à une distance finie,
2** Si le point est à une distance très petite de la surface,
V=6(e)-ie, (e),
les fonctions 6 et ô^ n'étant pas les mêmes quand le point est intérieur et quand il est extérieur; 3® Si le point est intérieur et à une distance finie,
5. Potentiel d'un volume de révolution. — Montrons d'abord que le potentiel en un point P, situé sur Taxe à une
10 THEORIE DE LAPLAGE
distance très petite de la surface limitant le volume, augmente ou diminue en même temps que le rayon de courbure
du sommet voisin.
Soit ABC [fig. 2) la section méridienne du volume considéré. Déformons cette courbe de manière à ce que le rayon de courbure en A augmente, et soit ADBE la nouvelle forme.
Fio. 2.
Le potentiel du volume engendré par la surface ADBE est égal au potentiel du volume engendré par ABC augmenté de celui du volume engendré par ABD et diminué de celui du volume engendré par BCE. Le point P étant supposé à une très petite distance de A, il est à une distance finie des molécules de ce dernier volume et, par suite, le potentiel correspondant est négligeable. Le potentiel du volume engendré par BDA est positif, si toutefois on suppose que la force entre deux molécules est attractive ; par conséquent le volume engendré par la surface ADBE donne en P un potentiel plus grand que le volume primitif.
Cela posé, traçons deux sphères tangentes en A au volume considéré et dont les rayons sont R' et R". Soient V et V^ les potentiels de ces sphères au point P, V celui du volume considéré au même point qui peut être à l'intérieur ou à Textérieur de ce volume. Si le rayon de courbure en A de la surface engendrée par ABC est compris entre R' et R", on a,
POTENTIEL d'un VOLUME DE RÉVOLUTION il
d'après ce qui précède
ou
En faisant tendre R' et R'' vers le rayon de courbure R, on aura à la limite
v = e(.)-i6ae); (3)
Le potentiel ne dépend donc que de la distance du point à la surface du volume considéré et du rayon de courbure au sommet.
Nous avons admis que les forces s'exerçant entre deux molécules sont toujours attractives. A la vérité, cette restriction ne s'impose pas, et Ton arrive à la même expression du potentiel en supposant que ces forces peuvent être attractives ou répulsives suivant les cas. En effet, si la force est répulsive, <pdoit être changé de signe ; par suite, Texpression la plus générale de (p est
<p (r) = ^^ (r) — cp^ (r),
?4 (r) et f, (r) étant deux fonctions toujours positives. Le potentiel en un point est alors
Mais les raisonnements qui précèdent sont encore applicables aux intégrales du dernier membre, puisque ^^ et cp, sont toujours positifs. Donc, chacune d'elles peut se mettre
SOUS la forme 6 (t) — ^ ô^ (e). Il en sera encore de même de
leur différence, c'est-à-dire de V.
Prenons un fuseau limité par deux plans passant par Taxe du volume de révolution et faisant entre eux un certain angle. Un autre fuseau de même angle aura le même potentiel en P, car, en faisant tourner ce dernier fuseau d'un angle convenable, on peut le faire coïncider avec le premier. Il résulte de là que le potentiel d'un fuseau est proportionnel à l'angle dièdre formé par les plans qui le limitent. Par conséquent, le potentiel d'un fuseau d'angle a a pour expression
6. Potentiel d'un volume quelconque. - Cherchons le potentiel d'un volume limité par une surface quelconque S en un point P, intérieur ou extérieur, mais très voisin de cette surface.
Prenons pour axe des z la normale à la surface passant parP; pour axe des a? et y, les axes de l'indicatrice du pied A de la normale. L'équation de la surface par rapport à ce système d'axes est
et le rayon de courbure en A, de l'intersection par un plan normal II faisant un angle cp avec l'axe des a?, est donné par
la relation
P = 2 (a cos^cp -f- ^ sin^(p).
Considérons le fuseau F d'angle d^ limité par le plan II et
POTENTIEL d'un VOLUME QUELCONQUE J3
un plan infiniment voisin. Ce fuseau diffère infiniment peu du fuseau de même angle de la surface de révolution engendrée par la rotation de Tintersection de la surface S par le plan n. Les potentiels de ces fuseaux peuvent donc être confondus. Par conséquent, d'après la formule (4), le potentiel de F est
rfV = |f[6(e)-i6,(e)]
Le potentiel du volume limité par la surface 2 est donc
ou en remplaçant p par sa valeur
/»2TC /»2ic /»2'rc
^ = -^ / ^<p — — *-^ f cos2(prf<p— — ^-^ j sm2(pc?:p,
et en effectuant les intégrations
Mais, si dans l'expression de ^ nous faisons (p = o, puis
îp = |i nous obtenons pour les courbures principales Par conséquent, nous pouvons écrire
14 THÉORIE DB LAPLAGB
formule qui montre que le potentiel en un point ne dépend que de la distance de ce point à la surface et de la courbure moyenne au pôle.
7. Équations d'équilibre d'un fluide. — Pour trouver les lois de la capillarité, il ne reste plus qu'à appliquer les principes généraux de Thydrostatique.
Rappelons que, si on appelle p la pression en un point a?, y, ^ ; X, Y, Z les composantes des forces extérieures s'exerçant sur Tunité de masse placée en ce point, on obtient les équations fondamentales
c^ y dp Y c^ „
dœ^ ' dy" ' dz'^ '
en écrivant qu'un élément de volume est en équilibre sous rinfluence des forces qui agissent sur lui.
Dans le cas particulier qui nous occupe, les forces extérieures sont de deux sortes : les forces capillaires et les forces s'exerçant à distance sensible. Nous venons de voir que les premières admettent un potentiel V ; les secondes, en général, en admettent également un, que nous désignerons par W.
Les équations précédentes deviennent alors
#. — ^ j ^, dœ dx dx
dy dy * dy
dp^dW, dW dz dz^ dz
Nous en déduisons
p = V -f- W + const.,
