Lemmb II. — Si AMC [fig, 39) est un arc du méridien

d'un solide de révolution résultant de la déformation d'un cylindre de révolution dont la hauteur est plus petite que la

108 Lks EXPÉRIENCES DE PLATEAU

circonférence des bases, il existe un arc d'onduloïde APC, terminé aux mêmes extréniités, engendranl un volume égel à celni du solide engendré par AMC et il n'y en a qu'un.

11 est clair qu'on peut toujours trouver au moins un onduloîde de volume donné, admettant comme bases deux cercles donnés.

En effet, on peut considérer une goutte d'huile dont le volume soit le volume donnéet qui s'appuie sur deux disques solides ayant la forme des deux cercles donnés. Celte goutte aura au moins une position d'équilibre. Ou, en d'autres termes, si on considère plusieurs solides de révolution ayant même volume et mêmes bases, la surface latérale de ces solides ne pourra décroître au-delà de toute limite; il y aura donc un de ces solides pour lequel cette surfpce sera plus petite que pour tous les autres et qui devra être un onduloîde.

Tout cela est presque évident. Mais ce que je me propose de démontrer c'est que, si les deux bases (qui sont les cercles de rayons AA, et CC,) ont des rayons très peu différents, parmi les onduloïdes satisfaisant à la question, il y en aura en général un et un seul qui différera très peu d'un cylindre.

Soit

l'équation de la courbe AMC. Si x^ et œ, sont les abscisses des points A et C, on a, en appelant a le rayon AA,,

où E doit être très petit, parce que A'MCB est le méridien du solide obtenu par «ne déformation infiniment petite du

cylindre. Le volume engendré par le trapèze A^AMCC^ est donné par Tintégrale

7c 1 /^ {œ) dx.

Et, comme f [x) diffère très peu de a, cette intégrale est égale à

t étant une quantité très petite.

Considérons les onduloïdes d*axe Ox. Leurs méridiens dépendent des dimensions de l'ellipse génératrice, ainsi que de la position du point de la droite qui se trouve en contact avec un point déterminé de la conique, un sommet, par exemple, pendant le roulement de cette conique. Or, Tellipse est déterminée par la connaissance de ces deux axes, et la position du point de contact d'un de ses sommets avec la droite Ox parTabscisse de ce point. L*équation des méridiens des onduloïdes d'axe Ox contient donc trois paramètres arbitraires. En exprimant que ces méridiens passent par le point A on peut éliminer un de ces paramètres et Téquation générale des méridiens d'onduloïdes d'axe Ox et passant

par A est

y = çp (or, a, p),

avec la condition

Supposons les paramètres choisis de telle sorte que Tonduloïde se réduise au cylindre pour a = p == o. Pour ces valeurs des paramètres on a

a = «p(^a, Oi o).

L'arc APC du méridien d*un onduloïde diffère peu de Tare AMC et, comme celui-ci diffère peu de la droite AB, Tare APC diffère peu de cette droite. Par suite, les valeurs des paramètres correspondant à cet arc sont excessivement petites, et Ton peut écrire pour cet arc

Pour exprimer que Tare d*onduloîde passe par Textrémité C de Tare AMC, il nous suffit d'écrire

ce qui nous donne la condition

Posons

7C f^{x, a, p) cto = 7c+(a, p).

Puisque pour a = p = o Tare d'onduloïde se réduit à la droite AB, l'intégrale précédente, qui représente le volume de Tonduloïde devient alors

et nous pouvons écrire, a et p étant très petits pour Tare APC, ^(«, p) = , p(^, a:,) + « £ + p ^]

Comme nous voulons que ce volume soit égal à celui du

solide engendré par Tare AMC, nous devons avoir .

II est toujours possible de satisfaire aux conditions (1) et

(2) par des valeurs déterminées de a et de p, si le détermi'

nanl

dtt. dp doL dp ^^

est différent de zéro^ et il est alors démontré qu'il existe bien un arc d'onduloïde satisfaisant aux conditions de Ténoncé. Voyons la signification de cette condition.

Si le déterminant précédent était nul on pourrait satisfaire aux équations

par des valeurs de a et de p différentes de zéro, ce qui revient à dire qu'il y aurait un arc d'onduloïde ayant ses extrémités sur la droite AB et engendrant un volume égal à celui du cylindre engendré par le segment de droite, compris entre les extrémités de l'arc d'onduloïde.

Or il est impossible qu'il en soit ainsi pour une longueur de ce segment moindre que AB, si cette longueur est ellemême plus petite que 27ua, comme le suppose l'énoncé.

Nous avons vu, en effet, que le méridien d'onduloïde est la trajectoire du foyer d'une ellipse roulant sur une droite.

Quand l'ellipse se réduit à un cercle de rayon a. Tondu-

loïile se réiiuil à un cylindre de rayon a, ayant pour m<ji'idien

une droite AB.

Considérons les intersections de cette droite AB avec un méridien d'onduloïde très peu différent, c'est-à-dire engendré par une ellipse peu différente d'un cercle de rayon a.

Une droite telle que AB parallèle à la droite sur laquelle roule l'ellipse génératrice d'un méridien d'onduloïde coupe ce méridien en une série de pointa D, E, F {fig. 40),

L'extrémité C de l'arc d'onduloïde APC considéré ne peut se confondre avec le point d'intersection D, car il est évident que le volume de l'onduloïde limité par des plans perpendiculaires à O^el passant pur A et D est plus grand que le volume du cylindre engendré par le rectangle A,ADP,, Par suite, le point C doit âtre l'un des points d'intersection suivants, E, F,... Or les points A et E du méridien de l'onduloïde correspondent à des positions de l'ellipse telles que dans ces deux positions c'est le miïme point de l'ellipse qui est en contact avec Oa;; par conséquent, la différence des abscisses de ces points est égale à la longueur de l'ellipse. Mais cette longueur diffère peu de 2ic(7, car, pour obtenir la droite AB elle-même, l'ellipse doit se réduire à un cercle de rayon a, et par hypothèse l'onduloïde ADEF diffère peu de la droite.

II résulte donc de ià qu'il n'est possible d'avoir un ondu-

ÉQUILIBRE DU CTLINDBB DE RévOLUTION 113 ioïde limité par (les cercles égaux et ayant môme volume que le cylindre de mêmes bases que si la hauteur de l'onduloïde est au moins égale à. la circonférence de ces bases. Le déterminant ne peut donc s'annuler que si cette hauteur n'est pas plus petite que cette circonférence. (Je pourrais même ajouter, si elle est un multiple do cette circonférence.^

Or, dans l'énoncé du lemme J'ai supposé que ta distance des deux plans AA,, BB,, et a fortiori celle des deux plans AA, , (]C| était plus petite que cette circonférence.

Notre déterminant ne peut donc s'annuler, et le lemme est démontré.

Voici l'usage que nous en ferons,

46. Considérons le solide AMCBB.A, (/ff.39) et un plan mobile CC, parallèle aux deux bases; construisons ensuite l'onduloïde APC défini plus haut.

Quand le plan CC, se déplacera d'une manière continue, cet onduloîde se déformera d'une manière continue.

Quand C est très voisin de A, cet onduloîde diffère très peu du cylindre; en diffitret-il encore très peu quand le point C vient en B ?

Pour nous en rendre compte, voici comment il faut raisonner:

Mettons l'équation de la courbe AMB sous la forme

\ étant indniraent petit, et f, fini.

Les fonctions i[> et ij- définies plus haut d ; et de l'abscisse iCj du point C, les équatiom a et p pourront se mettre sous la forme

1^ (oL, p, \, a>i) = o

tendant aussi de

Éliminons p entre ces deux équations, nous aurons

Si nous regardons un instant a, l et a?, comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans Tespace, cette équation représente une surface. Cette surface passe par la

droite a = o, Ç = o qui est la droite RST de la figure 41. Pour a = Ç = o, a?j = 27ra, le déterminant

c?(p d^ c?(p d^ dd dp dp da

s'annule, ce qui veut dire qu'au point S qui a pour coordonnées 0, o et 27ra, le plan ; =. o est tangent à la surface. Ce plan coupe donc la surface suivant une courbe présentant un point double en S et qui se décomposera, par conséquent, en la droite RST et une courbe USV passant par S.

Si nous coupons maintenant la surface par un plan l =Iq

(Ç^ étant très petit), nous obtiendrons deux branches de courbe R'S'V, U'T' marquées en pointillé sur la figure.

Quand le point C se déplacera d'une manière continue, le point (a, Ç, a?a) décrira la branche R'S'V d'un mouvement continu; on voit que, tant que x^ est plus petit que 2;ra, ce point décrivant R'S' reste très voisin de la droite RST et Tonduloïde correspondant très voisin du cylindre. Quand a?, devient plus grand que ^na, notre point décrit S'T' et s'éloigne de la droite RST, c'est-à-dire que Tonduloïde correspondant ne reste pas très peu différent du cylindre.

Si donc AB est plus petit que 27ua, Tonduloïde, dans sa déformation continue, se réduira au cylindre (dont il ne se sera jamais beaucoup éloigné), quand le point C viendra en B.

Mais il n'en sera plus de même si AB est plus grand que 27ca.

47. THÉORàNB. — Si la hauteur d'un cylindre circulaire droit est plus petite que la circonférence des bases, la sur-

face latérale de ce cylindre est plus petite que celle de tout solide de révolution de même volume et de mêmes bases.

Soient AB (Jîg. 43) la génératrice du cylindre, AMB le méridien de la surface de révolution. Prenons un point C quelconque sur ce méridien. Nous pouvons, d'après le Icmme

116 LES EXPEBIBNCBS DS PLATBA.II

précédent, tracGP un arc d'onduloîde APC tel que le volume engendré par A,PCC, soit égal au volume engendré par A,AMCC,. Supposons qu'on ait démontré que la surface de cet onduloïdc est plus petite que celle de ce dernier volume et démontrons que, si l'on considère un point C de AMC'B inilniment voisin de C, l'onduloïde s'appuyant sur les cercles de rayons AA, et C'C,, et qui a même volume que le solide engendré par AA,MC'C,', a aussi une surface moindre que ce dernier solide.

En effet, soit AQC l'arc du second onduloîde. Si noua menons en C la normale CC à cet arc, nous avons deux arcs d'onduloïdes APC et AQC ayant une extrémité commune A et limités, d'autre part, par une normale à l'un d'eux. De plus, les volumes limités par les surfaces qu'engendrent ces arcs sont égaux, car on a

volume A,AMC'CJ ^ volume A,AQC'C,',

et, puisque la surface du triangle CCC" est infînimeut petite du second ordre, il vient, en négligeant les volumes infiniment petits de cet ordre

volume A,AMCC, = volume A|AQC"C",,

volume A|APCC| = volume A|AQC"Cî,

les volumes des solides engendrés par A, AMCC, et A,APCC, étant égaux par hypothèses.

Les deux arcs d'onduloïdes APC et AQC" remplissent donc les conditions de l'énoncé du lemme 1. Par suite, les surfaces qu'ils engendrent sont égales aux infiniment petits

près du second ordre (CC étant du premier)

surf. APC = surf. AQC^

Si, comme nous Pavons admis, on a

surf. APC < surf. AMC, il vient

surf. AQC"< surf. AMC.

Aux deux membres de cette inégalité ajoutons ceux de la suivante

surf, ce < surf. CC

résultant de ce que, Içi droite CC étant normale en C/' à Tare AQC, Télément d'arc CC est plus petit que l'élément CC; on obtient

surf. AQC < surf. AMC.

Ainsi, s'il est vrai que l'arc d'onduloïde joignant A à un point quelconque C de la courbe AMCB engendre une surface plus petite que cet arc, les volumes limités respectivement par ces surfaces étant égaux, cette propriété est encore exacte quand on passe de C en un point voisin C.

Le théorème est évidemment vrai pour un onduloïde de hauteur infiniment petite. En déplaçant peu à peu le point C on arrive en B. Or, Tonduloïde qui passe par A et B, et qui a même volume que le solide engendré par la courbe AMCB, se réduit au cylindre de révolution. Par conséquent, *a surface de ce cylindre est plus petite que celle d'un vo- 1 ume quelconque de révolution ayant mêmes bases et même volume.

Je viens de dire que, quand le point C vient en B, l'onduloïde se réduit au cylindre.

Cela est vrai, en verlu du lemme II, si AMB s'éloigne peu de la droite AB et si la hauteur AB du cylindre est plus petite que 2na, c'est-à-dire que la circonférence de base.

Ainsi le cylindre de révolution, dont la hauteur est plus petite que cette circonférence est une figure d'équilibre stable.

Si la hauteur du cylindre devient pins grande, les conditions de l'énoncé du second lemme ne sont plus satisfaites; l'analyse de Plateau nous apprend alors que l'équilibre du cylindre est instable.

48. Gouttes d'huile en rotation. — Lorsqu'une goutte d'huile est suspendue dans un liquide de même densité sane être en contact avec des supporta solides, la condition d'équilibre de cette goutte s'obtient en faisant S ^ S, :^ o dans l'équation d'équilibre trouvée au g 36 ; on a donc

ce qui exprime que la surface do contact de l'huile et de l'alcool doit être aussi petite que possible.

Parmi les solides de mémo volume, la sphtTe satisfait à cette condition, et l'expérience montre, en effet, qu'une goutte d'huile, en équilibre au seiu d'un liquide de même densité, affecte la forme sphérique.

Si l'on fait tourner la goutte autour d'un axe passant par sou centre, la sphère se déforme et se transforme en solides de révolution plus ou moins aplatis, auxquels on donne le