EXPRESSION DU VOLUME LIQUIDE

tube cylindrique de section quelconque» — ' Cônsidé-^ rons un tube cylindrique, dont la section droite est quelconque, plongé dans un liquide.

Prenons pour plan des œy le plan horizontal de la surface libre du liquide en dehors du tube, et pour axe des z une normale à ce plan dirigée vers le bas.

Le. volume U du liquide ABCD [fig. 5), qui se trouve dans le tube au-dessus du plan des xy^ a pour expression

U = — / / zdxdy^

Fio. 5.

s étant l'ordonnée d*un point de la surface libre et l'intégration étant étendue à la section droite du tube.

Or, nous avons trouvé (9) pour l'équation de la surface libre dans ce système d'axes

par conséquent, il vient

Appelons l^m^ n les cosinus directeurs de la normale en un point de la surface libre. Les rayons de courbure principaux

passant par ce point satisfont aux équations

dm , , dm , 1 ,

â^dx+^dy = -:^dy,

dœ^ dy étant proportionnels aux cosinus directeurs de la tangente à la ligne de courbure. On peut les écrire

dm dx

on en déduit

\doo "^ R/ \dy "•" R/ dy dx'^^' ou

/J.\^ , \ fdX^ . dm \ , dX^ dm dl dm

VR; "+■ R U^ + dy) '^dœ dy '^ dy dx '~ ^'

Par conséquent, nous avons

R, +R3~ [dx'^ dy)' et Texpression de gV devient

ou en remplaçant Tintégrale double du second membre par une intégrale curviligne étendue à la section droite du tube

^U = ^-^fildy - mdx).