DES DIVERSES ESPÈCES DE DÉMONSTRATION

Il faut distinguer les axiomes soit des faits premiers, qui ne se démontrent pas non plus , mais qui se constatent, soit des maximes, qui sont aussi des vérités générales , mais qui peuvent ne pas être évidentes et comportent toujours quelque exception, comme cette parole de La Rochefoucauld : « L'esprit est toujours la dupe du cœur. »

Partant des définitions et s'appuyant sur les axiomes , la démonstration se développe en une série plus ou moins longue de raisonnements et de déductions : ainsi pour démontrer que le carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal au carré construit sur les deux autres côtés, les géomètres donnent toute une série de raisons méthodiquement exposées qui constituent la démonstration du théorème indiqué.

Comme les raisonnements déductifs dont se compose la démonstration peuvent être disposés de diverses manières, on distingue diverses espèces de démonstration , dont les principales sont : la démonstration synthétique et la démonstration analytique, la démonstration à priori et la démonstration à posteriori, la démonstration directe et la démonstration indirecte.

La démonstration synthétique ou descendante consiste à partir d'un principe général et à en déduire successivement toutes les conséquences ; v. g., en arithmétique , étant posée la définition de la proportion géométrique , on en conclut d'abord que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens; ensuite, que si l'on a déjà trois termes d'une proportion, l'on peut trouver le quatrième au moyen d'une multiplication et d'une division.

La démonstration analytique ou ascendante consiste à partir des données d'une question à résoudre, à les décomposer et à poursuivre, à travers une série de décompositions et de transformations successives une affirmation évidemment vraie ou évidemment fausse qui donne la solution cherchée. Ainsi je veux démontrer la spiritualité de l'âme : je décompose l'idée de spiritualité et l'idée d'âme; la spiritualité m'apparaît comme l'attribut d'une substance simple et non composée de parties; l'âme est le principe qui dans chacun de nous pense , sent et veut : or, la pensée , la sensation , la volition sont des phéno-

mènes essentiellement simples et absolument incompatibles avec la matière étendue et divisible ; mais les modes sont toujours de même nature que la substance; donc l'âme est simple et spirituelle.

La démonstration à priori consiste à prouver l'effet par la cause, les propriétés par l'essence : on donne une démonstration de ce genre lorsqu'on établit en théodicée l'existence de la Providence en partant des attributs de Dieu , de sa sagesse et de sa bonté infinies.

La démonstration à posteriori remonte des effets à la cause , des propriétés à l'essence : c'est une démonstration de cette sorte que l'on fait lorsqu'on établit l'existence de Dieu par l'ordre et l'harmonie de l'univers.

La démonstration est directe quand on prouve une vérité par des arguments tirés de la nature même de la chose dont il s'agit, v. g., quand on montre que le dogme de l'immortalité de l'âme découle nécessairement des notions morales gravées au fond de l'intelligence humaine.

La démonstration indirecte ou démonstration par l'impossible, ou réduction à l'absurde, consiste à supposer vraie pour un instant la proposition contradictoire de celle qu'on veut établir et à faire voir que cette supposition aboutit à une impossibilité, à une absurdité : telle est la démonstration de l'existence de la liberté morale par les conséquences du fatalisme. Ce genre de démonstration ne doit être employé que quand on ne peut pas faire autrement; car s'il convainc, il n'éclaire point, il ne fait pas connaître le pourquoi et le comment des choses, ce qui doit être le but et le résultat de toute démonstration vraiment scientifique.

Les règles de la démonstration ont été données par Pascal dans son Second fragment de l'esprit géométrique, qu'on intitule généralement De l'art de persuader. Il en énonce huit, dont cinq seulement sont nécessaires à ses yeux.

Les auteurs de la Logique de Port-Royal ont reproduit six de ces règles et y en ont ajouté deux autres, tirées des préceptes de la méthode générale de Descartes.

11 y a donc, d'après eux, huit règles de la démonstration,