Formule générale désaccords possibles

L’importance de la quinte, pressentie par Pythagore,a été démontrée par Barbereau et par le comte Camille Durutte dans une série de travaux, nécessairemement très laborieux à lire pour le point de vue métaphysique auquel se sont placés ces auteurs ; mais leurs explications gardent toute leur valeur et s’éclairent singulièrement par la projection des quintes en directions virtuelles convenables. Je ne pourrais sans écrire un traité complet d’harmonie citer tous les exemples. Je choisirai le plus important : la formule générale qui donne tous les accords possibles.

Un accord est la simultanéité de n sons dans l’infiniment petit du temps ; il s’exprimera donc par toutes les combinai-

sons possibles des produits de ces sons. Mais suivant la remarque déjà faite (§ 8), le maximum du contraste successif,

c’est-à-dire î de circonférence représente un temps aussi

court qui se puisse imaginer, qu’on peut prendre pour l’unité

de temps ; - de circonférence, ou le maximum du contraste

simultané, représente une différence de temps nulle, mais

en soi un temps indéfini : ~ de circonférence représente

donc un intervalle de temps infiniment petit : poser un tel intervalle de temps, c’est le rapporter à l’unité de temps d’une part, d’autre part à un temps indéfini. Mais, en musi- 1 4

que, le ^ de circonférence ou — représente la tierce ma-

jeure ; le - de circonférence ou — représente la tierce

mineure ; — représente l’unité par rapport à laquelle s’exprime tout intervalle, la quinte. Les valeurs de chaque intervalle seront donc exprimées par deux systèmes d’équations : l’un en fonction des quintes, l’autre en fonction des tierces.

Ainsi l’intervalle de quinte — = — — — , c’est-à-dire égal H 12 12 12 &

à deux tierces, évoque par association + — la quinte ma-

jeure, — la quinte mineure, chacune égale à deux tier-

ces ; l’intervalle de septième majeure — — — 4- — , c’est

à-dire égal à trois tierces, évoque — ~ la septième mi -

neure, — — la septième diminuée, chacune égale à trois

tierces :

l’intervalle de neuvième majeure —, égal à quatre tierces,

évoqué

~ la neuvième mineure, + la neuvième aug- 12 12

mentée, chacune égale à quatre tierces :

- il) ^ (là + Ï2 “ Ttj '• lintervalle de onzleme - ü’

égala cinq tierces i := - ~ + + 4)’ év01ue la

onzième majeure

— et la onzième mineure — —, cha- 12 12

cune égale à cinq tierces; l'intervalle de treizième

égal à six tierces, évoque la treizième majeure -b — et la

treizième mineure — —, chacune égale à six tierces. Le

lecteur a sans doute déjà appliqué aux idées en général ces associations d’idées de sons en (onction de temps.

Gela posé, représentons par x la fondamentale d’un accord quelconque, par m le nombre de sons qui le compo-

sent, par T, Q, S, N, 0, etc. les intervalles de tierce, de quinte, de septième, de neuvième, de onzième, de treizième comptés à partir de la fondamentale sur l’échelle des quintes, on aura en général, suivant la formule enseignée dans tous les traités d’algèbre, pour la fonction de a?, informée par le produit des quantités

x, x -h T, x -h Q, x h- S, x t- N, x -+- 0, x -+- ©, etc. j une expression de la forme :

F(x) = Xm H- A* Xm~i -h A2 Xm-2 -t- A3 ... 4- A,j'Xm-lx -h Am.j x.

laquelle expression, en se renfermant dans les limites du système musical, cJest-à~dire en attribuant à m la plus grande valeur 7, devient :

F(æ) = X1 H- At X& H- A 2 X 5 -h A3 H- A4 Xà -H Ag X^ H- Aü X,

Ai désignant la somme des quantités T, Q, S, N, etc; la somme de leurs produits deux à deux; A3 la somme de leurs produits trois à trois,... A^la somme de leurs produits^ à ;jl. D’après les remarques précédentes chaque intervalle se projetant dans l’inliniment petit du temps, les valeurs des quantités T, Q, S, N, etc. sont déterminées dans chaque cas particulier en fonction des deux tierces majeure et mineure par les formules :

T = 40 - 36' ; Q = kk — 3 k' ; S = 4s — 3s ; N = 4 n — 3 ri ; 0 = 4u> — 3co' ; © = 4" — 3t', etc.

avec les conditions téléologiques suivantes qui doivent être satisfaites en nombres entiers positifs, marquant le nombre de tierces :

0 h- 0' = 4 ; k -+- k' = 2 ; s h- s' = 3 ; n h- ri = 4 ; w -+■ m = 5

Par exemple, pour les accords de trois sons on aura :

Posons s ** s' 95 \ ; Q 1, ô' » 0 ; k ** 1, k' : nous aurons pour la fonction d’u? correspondante :

jf3 (x) = xd h- 5æ2 h- 4# = » (* -t- 4) (» •+■ 1),

qui présente le produit d’une tierce majeure, d’une tierce mineure et d’une quinte juste ou les termes de V accord parfait majeur. On trouverait de la même façon les formules générales qui embrassent tous les accords de m sons.

53, Le timbre. — M. de Helmholtz a démontré que le timbre d’un son dépend de la forme des vibrations de ce son et que cette forme est en relation avec le nombre et l’intensité des harmoniques coexistant avec la note fondamentale : par exemple, dans le violon, si on le compare au piano, la note fondamentale est forte, les notes secondaires de deux à six sont faibles, celles de sept à dix sont beaucoup plus intenses ; dans la clarinette, les harmoniques impaires sont seuls perceptibles ; dans le hautbois, les harmoniques pairs. On sait que les harmoniques correspondent aux vibrations simples ou pendulaires d’un mouvement aérien composé et, dans le cas d’une corde, à la subdivision en cordes

de longueur., -, etc., pour une vibration simple, ce a o 4

qui explique qu’en faisant résonner ut, nous entendons ut2, sol2 , ut3, mi9 , sol3 si3 * , etc. Les premiers termes de ces sériés harmoniques sont seuls perceptibles : M. de Helmholtz les a reconnus jusqu’au 18e exclusivement. Le timbre superpose donc à la note fondamentale une série mélodique et

harmonique particulière qu’il est possible de déterminer numériquement et d’apprécier esthétiquement comme la mesure et le rythme d’une ligne : nous voyons immédiatement pourquoi les harmoniques 7 et 9 correspondant au septième et au neuvième de la corde sont dissonants. Nous aurions ainsi le moyen de donner une théorie de l’instrumentation comme le comte Durutte en a donné une de l’harmonie et de la mélodie, si le timbre n’introduisait un élément nouveau et variable suivant la nature du choc et du corps : l'intensité respective des harmoniques. Ces intensités sont également fonctions de rythme et il importerait d’en avoir des mesures précises non seulement pour les instruments de musique, mais pour tous les matériaux de construction et de plastique : l’avenir de l’architecture et de l’art industriel est là. Des recherches théoriques et des expériences complémentaires de celles de M. de Helmholtz sont donc necessaires.

La constitution moléculaire du corps n’agit pas seulement par le timbre sur la sensation auditive : c’est un facteur essentiel de l’esthétique à la fois par les qualités de groupement et par les propriétés physiques qui en dérivent. On sait depuis longtemps qu’il n’est pas indifférent de rendre un sujet eu marbre ou en bronze, en ivoire ou en cire, en bois ou en verre; la fresque, la détrempe, l’huile, l’encaustique répondent à des convenances particulières; bien plus la même matière suivant ses états différents (plâtre mouillé ou sec, fer forgé ou fondu) relève ou déprécie l’œuvre d’art. C’est dire l’importance majeure des techniques ; il appartient à notre siècle, si riche en moyens industriels de rouvrir et d’élargir à l’infini la voie de ces harmonies supérieures que l’esthétique affinée des Grecs n’avait point négligées.

Le Comte Durutte a donné la formule générale qui détermine les conditions de la possibilité de l’encbaînement des sons et des accords, quels qu’en soient le nombre et la nature : lorsque le degré de la différence finale est élevé et la série formée d’un grand nombre d’accords, la solution est naturellement très difficile.

La solution se compliquera beaucoup lorsqu’on pourra tenir compte du timbre : mais elle n’est pas impossible a priori.

Dès aujourd’hui, les résultats expérimentaux essentiels se déduisent vivement du point de vue théorique. M. de Helmholtz trouve que dans les meilleurs timbres musicaux tessons partiels aigus à partir du septième doivent être faibles. Supposons que les sons partiels aigus de 8 à 12 soient forts ; l’être vivant serait induit à projeter simultanément deux directions égales et contraires cinq fois, ce qui correspondu des impossibilités; si, au contraire, ils sont faibles, ils seront réalisés tels comme complémentaires et pourront toujours être considérés comme cinq directions.

Le nombre des battements ou des discontinuités d’intensité de deux sons est donné par la différence des nombres de vibrations de ces sons et de leurs harmoniques: il est certain que des battements suffisamment rapides produisent du déplaisir. M. de Helmholtz a trouvé que la dureté la plus perçante se produit dans les parties élevées de la gamme pour un nombre de 30 à 40 battements par seconde dans les intervalles les plus petits. Ce fait pouvait être déduit : 30 à 40 battements ne peuvent être réalisés que comme 30 ou 40 discontinuités, c’est-à-dire comme le maximum réalisable continûment par les deux côtés, augmenté du maxi-

main du contraste successif de cet intervalle considéré comme un cycle ; mais plus l’intervalle de deux sons est aigu, pins il est dynamogène ; pins il évoquera les autres intervalles dans les limites du système. L’être vivant sera induit à projeter en même temps que ces intervalles induits les battements de l’intervalle inducteur : ce sont 30 simultanéités de 2 directions identiques et à la fois contraires à réaliser : c’est de l’inhibition.

Mais si les battements produisent de la dissonance, ils ne suffisent pas à l’expliquer, comme M. de Helmholtz l’a proposé. Ace point de vue, il n'y aurait aucune différence entre la consonance et la dissonance ; en effet, dans l’intervalle de quinte, le deuxième harmonique 9 de la note 3 bat avec 8, le 3e harmonique de la note 2. M. de Helmholtz ne s’est pas dissimulé la difficulté : il a essayé de l’amoindrir, en observant que la limite entre les intervalles consonants et les intervalles dissonants a varié, que les Grecs ont rangé les tierces parmi tes dissonances, etc. Mais il y a un abîme entre les rythmes complexes qui deviennent réalisables par le temps et les nombres irréalisables par notre mécanique naturelle. Il n’y a pas plus de commune mesure pour nous entre la douleur et le plaisir qu’entre le néant, et l’existence. Ces remarques sont d’ailleurs trop évidentes pour que j’insiste : elles ne sont pas nouvelles : elles ont même précédé la théorie du savant physicien.

DYNAMOGÉNIE ET INHIBITION

54. Généralité des actions dynamogènes et inhibitoire s. — Sont dynamogènes ou agréables les excitations se projetant en directions dynamogènes et déterminant des changements conformes au contraste, au rythme et à la mesure; sont inhibitoires ou désagréables les excitations se projetant en directions contraires. Cette conclusion ne s’applique évidemment qu’aux états initiaux et normaux de l'être vivant.

Je rapporte dans mon travail les principaux faits de dynamogénie et d’inhibition, dûsla plupart à \I, Brown-Séquard, en les coordonnant sous les lois empiriques suivantes :

A. Tonte irritation dynamogène d'une partie peut être inhibitoire pour d'autres.

B. Toute irritation périphérique ou centrale peut être, suivant les sujets, dynamogène ou inhibitoire d'une partie.