Origine du tempérament, — Nous savons

et 8) que le nombre 12 est le nombre des sections immédiates de l’unité au point de vue successif. Effectivement, ce que l’on appelle le tempérament réduit à 12 le nombre des sons de notre système, considérant comme équivalents les intervalles suivants mis en regard sur la même ligne, suivis

chacun de l’exposant positif ou négatif de qui, ramené

dans la même octave, marque le nombre des vibrations :

Quinte juste

Sixte diminuée —

Seconde majeure

Tierce diminuée —

Sixte majeure

Septième diminuée. . . —

Tierce majeure

-jr

Quarte diminuée .... —

Septième majeure

Octave diminuée —

Quarte majeure

Quinte mineure. ... —

Demi-ton chromatique.

Seconde mineure. .. . —

Quinte augmentée. . . .

rh

Sixte mineure —

Seconde augmentée. . .

Tierce mineure. —

Sixte augmentée

Septième mineure.. —

Tierce augmentée

Quarte juste —

Ces équivalences sont évidemment fonctions de direction: je considère le même point suivant que je le rapporte à la gauche ou à la droite d’un point pris pour origine : or, ce qui importe à l’être vivant est la direction du point. Le tempérament, en principe, n’adonc pour notre organisation rien d’arbitraire ; il n’est pas indifférent d’adopter tel ou tel tempérament* puisque le nombre 12 marque le nombre des sections immédiates de l’unité et que le rapport 2 s’impose à cette unité, il est commode d’adopter pour les intervalles

successifs une valeur de la forme

n croissant de 1

à 12. C’est le système du tempérament égal, généralement suivi dans raccordement des pianos, système évidemment faux subjectivement, puisque, suivant leur sens de projection, les intervalles sont réalisés inégaux. Le rapport

= 1,0136, qu’on appelle commet pytha -

gorique, est évidemment le minimum réalisable dans ce procédé de réaction continue immédiate: mais ce commet n'a rien d’absolu, suivant la remarque déjà faite pour toutes ces valeurs.

LE CONTRASTE

47. Les gammes. — La constitution de la gamme majeure est le double produit de la considération du contraste successif et de la projection spéciale à la sensation auditive. Si on prend sur le cycle, à partir de a (fig. il) dans la direction

spéciale à la sensation auditive, l’unité, soit — de la circonférence, il y a réalisation de la direction complémentaire,

soit de — ou de l’intervalle chromatique. Si on ordonne sui-

vant leurs grandeurs absolues les intervalles —, — ,

on trouve les intervalles de seconde — , de tierce — , de 12 12 12

quarte j , de sixte de septième -^c’est-à-dire toutes les 12 12 12

valeurs de la gamme majeure, en les ramenant dans la même

octave. C’est l’ordre dans lequel apparaissent les différents

points de la circonférence au pointée vue des minima du

contraste successif, c’est-à-dire les points distants de - dans

les limites des — . En adoptant pour tonique le premier point

lz

le second, c , marquera la sus-tonique ; le 3e, d , la médi « ante qui effectivement coupe la circonférence en deux, le

Fig. il.

4e, e, marquera la sous- dominante ; le 5e, /, marquera la dominante qui est effectivement le point de contraste maximum avec le point initial, si l’on se place au point de vue simultané,avec le point final, si l’on se place au point de vue successif; le 6e, g marquera la sus-dominante ; le 7% à, la noie sensible qui est bien sensible, si l’on observe qu’el'eest déjà déterminée virtuellement par la note initiale dont elle est la complémentaire et qu’elle se confond avec elle par suite de l’inhibition impliquée par le nombre 7 (§ il). (Cette

justification de l’intuition des musiciens par la théorie est à noter ; elle n’avait pas encore été accomplie). Si l’on appelle ut la tonique, on a, dans l’ordre des minima de contraste successif, la gamme majeure :

do ré mi fa sol la si;

au point de vue purement successif, les sept notes naturelles ordonnées en quinte ;

fa ut sol ré la mi si.

Si j’introduis dans le cycle le point de vue de la réaction discontinue des deux côtés, il se produit en f et en j (fig. 11) deux points neutres; à la dominante sol est substitué sol% obtenu par la continuité des quintes : je constitue une autre gamme dont l’origine est restée mystérieuse, la gamme mineure. Si je continue le cycle, soP représente la note sensible; ré, la sous-dominante ; la , la tonique, mi, la dominante, si, la sus-tonique. Mais la sus-dominante ne sera pas fa%, ni la médiante uP, car ceci équivaudrait à la négation du point de vue des deux côtés ; nous aurions simplement une gamme majeure avec la pour tonique. Si on observe que la réaction

continue des deux côtés est équivalente aux ^ de la réaction

d’un seul côté (§ 8), il y aura une discontinuité en s et en h,

points distants de - de k et j ; on aura pour sus-dominante fa et pour médiante ut ; en rangeant suivant leurs grandeurs absolues ces nouveaux intervalles ou en considérant les différents points au point de vue des minima du contraste successif, à partir de f, on aura la gamme mineure :

la si do ré mi fa sol# la.

Si on introduit après chaque intervalle l’intervalle complémentaire de l’intervalle suivant, on obtient, si l’on va de droite à gauche à partir du bas, c’est-à-dire suivant la direction normale, la gamme chromatique ascendante par dièzes ; si l’on va de gauche à droite à partir de la même origine, la gamme chromatique descendante par bémols: ordonnant suivant les contrastes minima successifs, on a :

ut ut# ré rén mi fa fa% sol soft la la% si ut

ut reb ré mfr mi fa fa% sol lab la sfr si ut.

48. Limites du système musical et des sons perceptibles. — Si l’on continue les dièzes à partir de si, on obtient douze notes dièzées, dont la dernière est la##, si l’on continue les bémols à partir de fa, on obtient douze notes bémoliséesdont la dernière estso^b; celaproduitâi quintes; mais les notes naturelles rapprochées par l’identification des complémentaires si et fa déterminent six quintes : on a ainsi 30 déterminations par une figuration précisément équivalente à la figuration du premier maximum réalisable par la réaction continue des deux côtés (§ 8). On peut donc considérer le nombre de 30 quintes comme exprimant les limites de la portée d’un système musical, si l’on se place au point de vue élémentaire successif : c’est la purtée du système actuel.

J’expose dans mon travail les résultats des expériences de Helmholtz, de Savart, de Desprez, de Mach, d’Auerbach, sur les nombres minima de vibrations sonores perceptibles, de Desprez, de Kœnigs, de Pauchon sur les nombres maxima perceptibles et je conclus quil y aévidemment dans les diver-

gencesde ces résultats l’influence des variations rythmiques ou non de l’intensité.

49. Distinction de la gamme xMélodique et de la gamme harmonique. — La théorie du contraste ne détermine pas seulement l’unité du système musical ; elle explique pourquoi on a adopté d’autres uni tés que la quinte : a priori, suivant que le contraste est successif ou simultané, les intervalles adoptés doivent être plus grands ou plus petits (il 4 et 5).

De 1869 à 1873, MM. Cornu et Mercadier, en inscrivant continûment et automatiquement les vibrations de sons constituant des fragments de mélodie oudes accords, ont démontré qu’il faut diviser les intervalles musicaux en deux classes, suivant qu’ils sont perçus successivement ou simultanément : 1° ceux de la mélodie, à peu près conformes à la théorie pythagoricienne, qui n’admettent que les facteurs 2 et 3, c’est-à-dire des puissances positives ou négatives de la

quinte :

ut

ré

mi

fa

sol

la

si

do

2° ceux de l’harmonie, à peu près conformes à la théorie de Ptolémée, de Zarlin et de M. de Helmholtz, qui renferment chez ces auteurs les facteurs 2, 3 et 5 :

1 8 4 3 2 3 ÏÏ

mais qui peuvent également comprendre des nombres pre-

miers supérieurs comme le nombre 7. En effet, dans l’accord de septième de dominante, défini comme formé par un accord parfait, auquel on ajoute une tierce mineure et représenté dans le système acoustique usuel par ces fractions :

ut mi sol sib . 5 3 3 6

et par les nombres entiers proportionnels 20 : 25 : 30 : 36, il n’y a aucune raison pour dire que la tierce mineure bar-

monique -, dont on a reconnu l’exactitude dans l’accord

parfait, convienne à la tierce additionnelle. «L’oreille adoptera, écrivent MM. Cornu et Mercadier, pour l’accord, les sons qui formeront un accord sans battements et dont les sons résultants 2 à 2 ne contiendront aucun son étranger à l’accord. Les sons correspondants aux nombres 4, 5, 6, 7 peuvent seuls satisfaire à ces conditions : en effet, les seuls sons I résultants possibles dans un accord donné ont des nombres de vibrations respectivement égaux aux différences 2 à 2 des nombres de vibrations des sons primitifs: dans l’accord par-

fait 1, -, - ou 4,5,6, les trois sons résultants possibles cor- 4 A

respondent aux nombres 6 — 5 = 1 ; 5 — 4 = 1; 6 — 4=2, c’est-à-dire à des octaves graves du son fondamental 4. L’adjonction du son correspondant au nombre 7 ajoute 3 nouveaux sons résultants possibles : 7 — 6 = 1 ; 7 — 5= 2 ; 7 4 = 1, octaves et quinte du son fondamental, qui ne peuvent qu’augmenter la sonorité de l’accord. On voit qu'il n’en saurait être de même pour l’accord caractérisé par les nom*

bres 20 : 25 : 30 : 36, ou, ce qui revient au même, 4:5: 6 : 7,2 dont le dernier n’est pas entier, et généralement pour tout accord analogue où le 4e nombre serait égal à 7+e.» Il faut donc admettre pour la tierce mineure harmonique au

moins les deux valeurs z et -•

Le système pythagoricien diffère du système de Zarlin : 1° par les intervalles de tierce majeure, + 4, de sixte majeure, + 3, et de septième majeure, + 5, plus grands dans le premier que dans le second d’un comma; 2° par les intervalles de tierce mineure, — 3, alternativement plus grands ou plus petits, de quarte mineure, — 1, et de sixte mineure, — 4, plus petits dans la gamme de Pythagore que dans celle de Zarlin. Les divergences peuvent au fond se ramener à celle qui existe sur la tierce majeure, car il y a précisément une différence d'une tierce majeure entre la tierce mineure et la quinte, la septième et la quinte, la sixte et la quarte.

Or, d’après la théorie du contraste (§ 4), la tierce ma-

jeure qui se projette en — =* - du grand cercle doit paraître plus petite considérée simultanément que successivement ; en effet, il y a entre la réalisation simultanée et la réalisation successive d’un intervalle cette différence qu e, dans le premier cas, il y a, pendant un instant, réalisation nulle à cause du point neutre introduit par les deux directions contraires ; l’intervalle simultané sera donc plus petit que l’intervalle successif de la valeur que le contraste attri-

bue à cette discontinuité. Mais nous savons que — de cycle, étant à la fois un maximum et un minimum est la forme

sous laquelle est considérée la discontinuité élémentaire : il y a donc réalisation simultanée de 12 cycles et, chaque cy-

cie apparaissant sous la forme -, réalisation du rappport

ramené à l’octave, c’est-à-dire du comma. L’inter-

valle harmonique de la tierce majeure sera donc plus petit que l’intervalle mélodique d’un comma. La belle expérience de MM. Cornu et Mercadier est interprétée.

Les deux valeurs de la tierce mineure suivant la nature de l’accord ne se déduisent pas moins facilement du contraste. Dans l’accord do-mi-sol la tierce mineure mi-sol a une va-

, 6 leur -

1,2 plus grande que la mélodique — = 1,185, d’en-

viron un comma = 1,0126), car l’intervalle subjec-

tif est augmenté de la tendance du point mi et du point sol vers do (fig. 11); si l’accroissement est un peu inférieur au comma, c’est que Ja projection de l’intervalle est en sens inverse de la projection normale. Dans l’accord de septième de dominante, do-mi-sol- sfr , la tierce mineure soi-sibalava- 7 32

leur - = 1,166, plus petite que — == 1,183 (tierce mélodique)

U Mi

d’un comma, 1,0163, et a fortiori plus petite que - = 1,2 la

tierce harmonique précédente, car cette tierce sol -si» est projetée de haut en bas et de plus en sens inverse du sens normal, ce qui la rend plus petite que la tierce mélodique : de plus, elle est plus petite que la tierce harmonique mi-sol , car il y a de do £ sol un élément de discontinuité par suite de

la projection de l’accord do-mi-sol. Nous avons trouvé des erreurs analogues dans les estimations linéaires (f 2).

La sixte mineure est plus petite mélodiquement qu’harmoniquemenl d’environ un corama, c’est-à-dire l’intervalle subjectif — 4 paraît plus grand simultanément que succesvement, tandis que le contraire a lieu pour l’intervalle +4 : cela résulte du changement de direction. Il est clair que si, dans un certain sens, le mobile b est en retard sur le mobile a, le mobile b, dès qu’il y aura rétrogradation, sera en avance sur le mobile a : par le changement de sens des opérations, il y a, comme dans l’exemple actuel des mobiles, interversion des valeurs relatives du contraste simultané et du contraste successif précisément d’un comma. C’est, sous une forme abstraite, la vérité souvent exprimée en ces pages, que l’inhibition pour le sens normal est de la dynamogénie pour le sens opposé.

L’expérience n’accuse aucune différence, que l’intervalle 1 soit perçu simultanément ou successivement ; cependant cette différence existe. Les cercles tracés simultanément, c’est-à-dire avec la collaboration de la droite et de la gauche, tendent à être représentés plus petits que les cercles tracés successivement, c’est-à- dire avec la droite ou la gauche, puisque la réaction à gauche apparaît sous la forme dune discontinuité que l’on peut loujours considérer comme élémentaire. Par le même raisonnement que dans le paragraphe précédent, on s’explique que l’intervalle pris en sens contraire paraîtra plus petit successivement que simultanément, c’est-à-dire que la quarte mineure est plus petite mélodiquement qu’harmoniquement d’un comma.

Ces considérations pourraient être développées ; lu pratique journalière des musiciens leur indiquera nombre d’exenples qui pourront être interprétés par la même méthode de projection. En résumé, on voit que le grand débat des acousticiens et des musicienstient, suivani la remarque déjà faite par MM. Cornu et Mercadier, aux différences des points de vue harmonique et mélodique. Par la théorie du contraste j’ai pu interpréter ces différences : il est à noter que le point de vue mélodique des musiciens est conforme au caractère continu immédiat de la* sensation auditive, de même que le point de vue pigmentaire des peintres est conforme au caractère discontinu immédiat de la sensation visuelle.

LE RYTHME ET LA MESURE

oO, Analyse rythmique des phrases mélodiques et harmoniques. — L’existence d’une relation entre la théorie de Gauss et la théorie de la musique a été entrevue pour la première par Hoëné Wronski. Son disciple, le comte Camille Darutte, s’est efforcé, dans une longue série de travaux, de justifier cette intuition. Mais ces deux savants n’ont point quitté le terrrain purement métaphysique.

D’après les considérations du § 15 et la théorie générale du rythme, les intervalles consonants se projettent en changements de direction dynamogènes, le degré de conso^nance étant lié au degré de dynamogénie ou de continuité; les intervalles dissonants se projettent en changements de direction inhibitojres,

Mettant à part l’octave qui exprime la continuité, on a immédiatement, comme consonance la plus parfaite, la quinte, marquée 4- 1 ; comme consonances parfaites, la sixte majeure — 3 et la tierce majeure -h 4; comme consonances imparfaites, ces intervalles pris en sens contraire : ce qui implique une discontinuité, c'est-à-dire la tierce mineure — 3 et la sixte mineure — 4.

Les dissonances doivent être distinguées en relatives et en absolues. Est une dissonance relative la septième majeure + 5 qui n'est une dissonance que comme complémentaire de l’octave diminuée — 7, dissonance absolue puisque 7 n’est pas rythmique. Sont des dissonances absolues l’octave diminuée, le demi-ton chromatique 4- 7, les secondes majeure 4- 2 et mineure — 5, enfin la septième mineure — 2. La seconde majeure 2, prise en elle-même, correspond à la réalisation simultanée de deux directions égales et contraires, ce qui est impossible pour l'être vivant : projetée sur l’échelle des quintes, elle correspond à la réalisation simultanée de deux directions égales qui contrastent successivement au minimum ou indifférentes,— ce qui est superflu. Ces remarques s’appliquent à son inverse, la septième mineure — 2, de sorte qu’à ce point de vue ces intervalles ne sont point des dissonances absolues.

La quarte ne doit être considérée ni comme une consonance, ni comme une dissonance : les auteurs qui lui ont attribué l’un ou l’autre caractère ont, comme il arrive souvent, également raison. Considérée comme l’inverse de la quinte , la quarte juste — 1 est parfaite consonance ; mais au point de vue du tempérament, elle a pour complémentaire la tierce augmentée 4- 11, qui est une dissonance absolue. La

quarte majeure 4- 6, prise en elle-même, correspond à la réalisation simultanée de six directions indifférentes, ce qui est superflu ; au point de vue de l’échelle des quintes, elle correspond h la réalisation simultanée de deux directions contraires : ce qui est impossible. A ce point de vue elle est une dissonance.

La quinte étant établie comme unité, toute succession mélodique et harmonique peut se représenter par une série de nombres dont on cherche la différence finale, et il faut comparer cette différence aux nombres premiers rythmiques 1, 2, 3, 5 et 17, les seuls nombres premiers rythmiques qui soient compris dans les limites de notre système musical actuel, les nombres supérieurs appartenant à la gamme enharmonique et à d’autres gammes d’ordre purement spéculatif. Si cette différence est exactement divisible par un nombre formé au moyen d’un ou de plusieurs de ces facteurs premiers rythmiques, renchaînement mélodique ou harmonique est bon ; dans le cas contraire, l’enchaînement est mauvais. Soit, par exemple, l’intervalle ut — ut* ; la différence est 7, nombre non rythmique ; mais si on fait suivre ce demi-ton chromatique du demi-ton diatonique ut — ul * — ré,

la différence est + 7 5 =12, nombre rythmique.

D’ailleurs la musique admet, indépendamment' des considérations de tempérament, le nombre 9= 32; dans le mode mineur, la note sensible soP en la mineur est à la distance de 9 quintes du sixième degré ou de la sus-dominante de la gamme ascendante de ce mode (fig. 11) : en général, la musique admet les puissances des nombres rythmiques, ce que ne peut faire l’architecture: ne pouvant réaliser, par exemple, ^ sur le cercle discontinu, je ne puis le réduire à la y

forme -, puisqu’il faudrait pour cela, le réaliser successi-

vement trois fois, ce qui est impossible. Au contraire, dans un grand cercle de n sections, provenant d’un entrelacs de n cercles, ces n sections ne peuvent être réalisées simultanément que sous la forme de leurs facteurs premiers (| 5).

Quelquefois la différence finale présente un nombre non rythmique et il n’en faut pas conclure que la série mélodique ou harmonique soit fautive : on recourt alors au nombre 12 qui exprime l’identité enharmonique, et on examine si la différence finale en question et l’un des nombres premiers rythmiques 1, 2, 3, 5, 17, divisés l’un et l’autre par 12, ne présentent pas les mêmes restes : si oui, autrement dit, si la différence finale est congruente, par rapport au module 12, avec les nombres premiers rythmiques Y, 2, 3, 5, 17, on peut admettre l’enchaînement, mais avec restrictions. Il faut aussi prendre garde que la différence finale parfaitement rythmique ne provienne d’une compensation d’erreurs, c’est-à-dire de fautes en sens inverses dans la contexture mélodique; il est donc nécessaire de consulter aussi les autres différences.

Pour bien familiariser le lecteur avec la pratique, j’emprunte un exemple au comte Camille Durutte. Soit la mélodie :

sol si'? la ut * ré

nous disons : entre sol et si 0 , intervalle de tierce mineure il y a trois quintes, mais en sens inverse de la projection normale des sons (fi g. 11) ; d’où le changement de signe;

entre soi et la, intervalle de seconde majeure : 2 quintes ; entre sol et ut 3 intervalle de quarte majeure : 6 quintes, etc. Nous obtenons pour ces notes, en mettant x pour sol, les valeurs et les différences successives suivantes :

nombre

rythmique.

Pour les successions harmoniques prenons en exemple, une succession très simple, celle qui présente la préparation de la dissonance de seconde majeure par l’unissoii et sa résolution sur la tierce mineure :

ut ré ré ut.

ut ut si ut.

Nous avons, en nombres, le tableau suivant, désignant ut par x :

Faisons le produit des deux termes dans chacun des intervalles harmoniques de cette suite, nous avons :

Prenant les différences successives, on a :

x2; x2 -f- %x; x 2 4- Ix 4- 10; x2.

— iâô —

dont les deux parties sont divisibles par le nombre 15, éga? au produit de 3 et 5, nombres rythmiques.

si. La mesure. — Il est clair que l’on peut, par la même méthode, apprécier la mesure : en représentant par 1 la durée de Limité de mesure et par les nombres proportionnels les différentes valeurs, il suffira de prendre les différences successives jusqu’à la différence finale : on trouvera si le nombre final est rythmique : en comparant cette différence finale avec celle du même ordre prise sur les sons eux-mêmes, considérés indépendamment de leur durée, on aura la différence finale définitive, c’est-à-dire la formule delà phrase rythmique, confondue jusqu’ici avec l’unité de rythme.