MOUVEMENT D'TJN CORPS SOLIDE
Ces cosinus directeurs ne sont pas indépendants. Ils sont reliés entre eux par les relations suivantes» bien connues :
,{ a» + p2 + Y» = 1, a'a'' + ^'^" + fy" = 0,
( a"a+ p"« + x"^ = 1» aa' + pp' + yr' = 0.
Ils dépendent ainsi de 9 — 6=3 paramètres indépendants, et la position du trièdre Oxyz dépend, comme on le savait déjà, de 3 + 3 = 6 paramètres.
Si Ton désigne par (a?, y, z) les coordonnées d'un point M du corps par rapport à Oxyz {coordonnées relatives), ses coordonnées absolues sont données par les formules suivantes, qui ne sont autres que celles du changement de coordonnées en Géométrie analytique,
( Xo = l + ao? + (t'y + ol"z,
Le point M étant fixe par rapport à Oxyz, x, y, z sont des constantes.
Le mouvement du trièdre étant supposé connu, c'est-à-dire $, 7|, C et les neuf cosinus directeurs étant des fonctions données du temps *, les formules (3) font connaître Xq, y^, Zq en fonction du temps t, et définissent par conséquent le mouvement du point M.
20. Mouvements particuliers. — De même que, dans la théorie du déplacement, nous avons été conduits à Lonner une importance particulière à certains déplasements de définitions simples, de même ici nous envisagerons tout d'abord certains mouvements fondamentaux, qui se rattachent d'aiUeurs immédiatement aux déplacements dont il s'agit.
1° Mouvement de tra/nslation, — C'est le mouvement d'un corps tel que le déplacement qui fait passer de sa position initiale à une quelconque de ses positions soit une translation. Il est clair que, dans un tel mouvement, les cosinus (a, p, y),... sont des constantes, l, yj, C peuvent être des fonctions quelconques du temps, c'est-à-dire que la trajectoire du .point et la loi de son mouvement sur cette trajectoire peuvent être quelconques.
Il est évident qu'un point M quelconque du corps décrit une J}rajectoire qui dérive de celle du point par une translation, et que la loi de son mouvement sur cette trajectoire est identique à celle du point 0.
Si la trajectoire du point O est une droite, on dit que la translation est rediligne. Si le mouvement du point sur cette droite est uniforme, on dit que la translation est rectiUgne et uniforme.
Les projections de la vitesse du point M sont données par dérivation des formules (3). On a ainsi, en se rappelant que a, p, y... sont des constantes.
dxQ d\
dyo
dy\
dzo dl
dt dt'
dt
- dt'
dt dt
Par conséquent, les vecteurs vitesses de tous les points du corps sont, à un moment donné, équipollents a/a vecteur vitesse du point 0. C'est d'ailleurs évident.
Kéciproquement, si le mouvement d'un corps est tel que les vecteurs vitesses de tous ses points soient, à tout instant, équipollents entre eux, ce mouvement est une translation.
On a en effet, quels que soient x^ y, z.
dxQ
dl
dyo dri
dZa dï
dt
dt
dt dt
dt dt
MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE 37,
d'où
da d%' d<t."
Ces trois relations ayant lieu, quels que soient x, y, z, on a
da da' ^ ^ at ai dt
Les cosinus a, a', ... y'' sont donc constants, ce qui établit la proposition.
Si la relation indiquée entre les vecteurs vitesses a lieu à un certain instant, les vecteurs vitesses sont les mêmes que si le corps était animé d'une certaine iran^lotion rectUigne, qui est dite tcmgente au mouvement.
2® Mouvement de rotation, — C'est le mouvement d'un corps tel que le déplacement qui fait passer de sa position initiale à Tune quelconque de ses positions soit une rotation dont Vaxe est fixe. Il est clair que les trajectoires de tous les points du corps sont des cercles ayant pour axé commun l'axe de rotation.
Pour définir complètement le mouvement d'un corps
animé d'une rotation autour de l'axe AU, il suffit
évidemment de se donner en fonction du temps t l'angle
(p de la rotation qui fait passer de la position initiale
à chaque position instantanée.
d(Lt On appelle vitesse amgulaire la dérivée —^ = w.
i o) est constant, la rotation est dite uniforme. Dans le cas général, il est aisé d'obtenir une expreslîon simple de la vitesse d'un point M d'un corps entraîné
dans un mouvement de rotation autour de l'axe AU (fig. 13). Soit P la projection du point M sur cet axe.
Le point M décrit un cercle de centre P avec une vitesse angulaire w évidemment égale
à -^' La vitesse V du point M dt
d<ù est donc égale à PM tt- Le
dt
vecteur vitesse même V est dirigé suivant la tangente en M au cercle trajectoire de ce point, c'est-à-dire suivant
une perpendiculaire au plan AUM, et dans le sens de
la rotation.
On peut trouver une expression de ce vecteur vitesse
sous forme de produit vectoriel (note I). Pour cela,
portons sur l'axe AU, à partir d'une origine quelconque
A, un vecteur AR, de grandeur égale à a> et de sens
tel que, pour un observateur ayant les pieds en A
et la tête en R, la rotation s'effectue dans le sens direct.
On dit que le vecteur glissant (A, w) est le vecteur rotch tion au temps t.
On a vu que V est égal à PM -^ = w.PM. On peut
dt
ecnre
V = a).AM.sin(AU,AM).
D'autre part, le vecteur vitesse V est dirigé suivant une perpendiculaire au plan AUM, et il est visible que^
si l'on mène de A un vecteur AV équipollent à V, la rotation autour de AV qui amènerait AU sur AM
MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE 39
s'effeotuerait, pour un observateur ayant les pieds en A et la tête en Y', dans le sens direct. Il résulte de
tout cela que V peut être considéré comme le produit vectoriel du vecteur co par le vecteur AM, et l'on écrira
(4) V = (t) X AM.
On conclut de là des expressions analytiques pour la vitesse d'un point. Soient, par» rapport à un trièdre quelconque (a?i, t/i, z^) les coordonnées du point «A, (05, y, e) les coordonnées du point M, (X, fji, v) les cosinus directeurs de l'axe AU. Posons
(i)X = p, (ojjL = q, (ov = r.
(p, q$ r) sont les projections du vecteur rotation w sur les axes choisis. En se reportant aux expressions (3), de la Note I, pour les projections du produit vectoriel de deux vecteurs, on trouve pour les projections Yx,
Yy, Yi du vecteur vitesse V, suivant les .mêmfes axes :
Va: = g {^ — ^i)—r{y — yi),
(5) { Yy = r(x — Xi) — p(z— z^), V, = p (y — yi) — g (a? — a;J.
Il importe de remarquer que les formules (5) sont valables, quels que soient les axes : ce peuvent être, en particulier, les axes fixes ou ceux du trièdre mobile. Comme on le verra, il y a souvent avantage à consi-
dérer les composantes de V suivant ces derniers axes.
3° Mouvement hélicoïdal. — C'est le mouvement d'un orps tel que l'on passe de la position initiale à une osition quelconque par un déplacement hélicoïdal
'■■"^ .- nvm
invariable, doat la translation l et l'angle de >n a sont dans un rapport constant A :
I = Aa
t ce que l'on nomme le pas réduit du mouvement. >pelle jiae la longueur H = 2xA : c'est la valeur translation correspondant à une rotation de 2n : de l'a^ïe dn mouvement, uouvemeat hélicoïdal est bien conna par la pra-
o'est celui d'mne vis dans son écrou. Tous les
du solide en mouvement décrivent des hëlices me pas H, tracées sur des oylindres de révolution
poni axe commun l'axe du mouvement, mouvement hélicoïdal peut être dejiTOTSutn ou neum. Voici ce qu'il faut entendre par là : ima-
un observateur couché te long de l'axe, dans un il que la translation qui intervient dans le mout s'effectue des pieds vers la tête de cet obser- , La rotation qui complète le mouvement s'effeo- >rs pour lui soit dans le sens direct, aoit dans le [direct. Le mouvement est dit dextroTsjim dans nier cas, sinisfrorsum dans le second (^).
ixe du mouvement est orienté, la longueur I et
a de la formule (6) sont auaceptibles de signes. t que A et H sont positifs, pour un mouvement ïufn, et négatifs pour un mouvement siniHrorawm. nouvement hélicoïdal d'axe donné sera complè-
défini par la formule (6), jointe à une équation
a = fit).
b oomiùtre a en fonction du temps.
n fa,it parfois la convention contraire. Nous adoptons i fait considérer comme dexiroTaum le mouvement is à droiie, c'est-à-dire d'une vis qu'il faut faire tourauche à droite pour l'enfoncer.
MOUVEMENT D'UN COBPS SOLIDli
Vitesse dams un 'mouvement hélicoïdal. — ConsicLérons un mouvement hélicoïdal d'axe AU (fig. 14). Soient M et M' les positions prises par un même point du corps, aux temps t et t -f- At, P et P' leurs projections sur AU» Ml la projection du point M' sur le plan mené par M perpendiculairement à AU. On a l'égalité vectorielle
