MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE

3fouvement hélicoïdal tangent, — On peut donner une forme plus frappante au résultat précédent. Cherchons à» cet effet s'il existe dans le corps un point M dont la

vitesse soit parallèle au vecteur Vr. On aura pour un tel point (x, y, z)

OU, en tenant compte des formules (11),

Hg 4- g^ — yy IJy + ^"^ — V^ __ ^» + py — ga;.

Ces équations représentent une droite dont tous les points satisfont à la condition énoncée. Comme on est libre de choisir le trièdre mobile Oxyz auquel est lié le

Titesse U'. On aura la nouvelle expression du vecteur vitesse du point M

(12 bis) V = U' + Vr',

V r' étant le vecteur vitesse du point M, supposé entraîné

dans une certaine '^rotation de vecteur (C, o)'). Soient, par rapport aux axes mobiles, x^t y^, Zi les coordonnées du point

0' et U»', Uy', JJz les projections de U', p', q\ r' les projections

de a>'. On a, pac projection sur les axes mobiles de (i2 bis), et en vertu des formules (5)

et deux formules analogues. Les nouvelles expressions de c, Vy et V« doivent être identiques aux expressions (11). \elB que soient x, y et z. Cela exige

) qui justifie la proposition.

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corps solide, on peut supposer que le point est l'un de ces points. Pour cela, il faut qu'on ait

U^ TJy U,

En désignant par h la valeur commune de ces rapports , on voit que les formules (11) s'écrivent

Y^ = hp + qz — ry, :

Y^ = hr -\~ py — qx. J

En se reportant aux formules (8), on voit que ces | expressions sont celles des projections du vecteur vitesse du point M entraîné dans un mouvement hélicoïdal de pas réduit h. On peut donc énoncer le résultat simple que voici: \

Un corps étcmt cmimé d*un nvouvenient quelconque^ les vitesses de ses points sont les mêmes, à chaque insta/rU, ] que sHl était a/aimé d'un certad^n mouvement hélicoîdaV.

Ce mouvement hélicoïdal est dit tangent au mouvement considéré. Il est clair qu'il peut se réduire, dans des cas particuliers, à une rotation ou à une translation. Le résultat obtenu est aussi une conséquence immédiate du théorème du n<> 11 (Chapitre I), en vertu duquel le déplacement le plus général d'un corps est un dépla- V^ cément hélicoïdal : il suffit de considérer deux positions infiniment voisines d'un corps en mouvement pour reconnaître qu'à un instant donné les vitesses des points de ce corps sont distribuées comme dans un certain mouvement hélicoïdal.

EXERCICES

1. On considère un corps solide, mobile suivant une loi quelconque, dans la position qu'il occupe à un instant donné.