MP08ITI0N DES MOUVEMENTS ET MOUVEMENT RELATIF
22. Définitions. — Soient Sq» S, S^ trois corps solides dont le premier est fixe et dont les deux autres sont mobiles, la position de chacun de ces corps étant définie en fonction du temps.
Il peut arriver que les lois des deux mouvements considérés soient identiques. Dans ces conditions le corps Si paraîtra immobile à un observateur lié à S et n'ayant pas conscience de son propre mouvement. On dit que Si est en rey^os relatif par rapport à S. Mais en général il n'en sera pas ainsi, et Si paraîtra animé d'un certain mouvement par rapport à S.
Ce mouvement est dit mouvement relatif, par opposition au mouvement absolu, qui est celui de Si par rapport à So- Le mouvement de S par rapport à So est dit mouvement d* entraînement. On peut désigner
les trois mouvements considérés par (-rri» (~1> ( — l.
\S/ \So/ \So/
S est dit système de comparaison.
On dit aussi que le mouvement absolu (^ j résulte
de la composition du mouvement d'entraînement ( — )
et du mouvement relatif
Si ron considère un point M du corps Sj, on peut considérer à un instant donné le vecteur vitesse absolue
de ce point, dans le mouvement (^ )♦ le vecteur vitesse
relative, dans le mouvement (-—) et le vecteur vitesse
d^ entraînement qu'aurait le point M supposé entraîné
dans le mouvement ( ^ ) ; d'une façon plus précise, ce
dernier vecteur vitesse est celui du point, lié a/u système S, qui coïncide, à l'instant considéré, avec le point M.
On considérera de même les vecteurs accélération absolue, a>ccélération relative et accélération d^ entraînement.
Le problème essentiel de la composition des mouvements consiste à rechercher les vitesses et accélérations absolues, connaissant les vitesses et accélérations relatives et les vitesses et accélérations d'entraînement. En ce qui concerne les accélérations, un troisième élément intervient encore, ainsi qu'on le verra. Nous allons donc étudier successivement la composition des vitesses et celle des accélérations. Il suffit de résoudre le problème pour un point M du corps Sj.
23. Composition des vitesses. — Rapportons toujours le corps fixe So à im trièdre OoiCoyo^o» le corps S à un trièdre Osl^yz. Soient (x, y, z) les coordonnées relatives du point M, (a?o»yo»^o) ses coordonnées absolues. On a les formules (3) du Chapitre III. Récrivons la première ;
5 + «ic + a'y -\- ^"z.
Mais ici (x, y, z) ne sont plus des constantes. Ce sont
es fon<^tions connues du temps t.
La formule (1) et les deux formules analogues font onnaître la loi du mouvement^ absolu du point M.
Bbicabd. — Cinématique. 4
Pour avoir sa vitesse absolue, dérivons par rapport à t. Il vient
dt
/dl d-L dr' da" \
='\dt'^di''-^i^^-^ir')
dyo et deux formules analogues qui font connaître —
et — — dt
L'interprétation de ces formules est immédiate.
->■ ■ Désignons en effet par Va le vecteur vitesse absolue
du point M, par Y^ son vecteur vitesse d'entraînement,
par V^ son vecteur vitesse relative.
Le premier membre de (2) est égal à la projection de
Va sur OqîCo ; le premier terme entre parenthèses du
second membre est égal à la projection de V^. sur le même axe (car c'est la valeur qu'aurait -3--» si a;, y, z étaient des constantes) ; le second terme entre paren-
thèses est la projection de V^ : c'est en effet la somme
des projections de V^ sur Ox, Oy et Oz, multipliées respectivement par les cosinus des angles que font ces axes avec Oo^Co.
Cette interprétation de (2) et celle des deux formules analogues montre que l'on a l'égalité vectorielle
Va = V, + V",.
Ainsi le vecteur vitesse absolue d'un 'point est la somme
-tr -■ T9~- - •
COMPOSITION DES MOTTVEMENTS 51
géométrique de son vecteur vitesse d'entraînement et de son vecteur vitesse relative.
24. Composition des accélérations. Théorème de Coriolis. — Dérivons la relation (2). Il vient
d^Xp /d^ d^ d^ d^
dt^ ~ \dt« '^ dt^^~^ dt^ ^ '^ dt^
^\ dt^ ^ dt^ ^ dty ^ /doi dx doi' dy da" dz\ \ "^ \dt dt '^ dt dt ~^ dt dtj' '
I On obtient des expressions analogues pour
dt^
Le premier membre a pour valeur la projection sur
Ooaîo du vecteur accélération absolue Wa du point M ; le premier terme entre parenthèses du second membre a pour valeur la projection du vecteur accélération
d'entraînement W,, ; le second terme entre parenthèses,
la projection du vecteur accélération relative W,.. Enfin le troisième terme peut être considéré comme ayant pour valeur la projection Z^^ d'un certain vec-
teur J dont les trois projections sur les axes fixes sont
(d^dx dyJ dy - dy," dz
'"'* \dt dt dt dt dt dt
d^dx dp^dy d^dz^ dt dt "^ dt [dt 'df dt
\dt dt ~^ dt dt ~^ dt dt
d2 CINÉMATIQUE
La formule (3) et les formules analogues qui donnent "^7 ®* "^ peuvent donc être remplacées par la simple formule vectorielle
Le vecteur J est dit vecteur accélération complémen' taire du point M. On peut donc énoncer le théorème suivant, dit théorème de Coriolis :
Dans le mouvement résulta/ni de la composition de deux mouvements, le vecteur accéléraiion absolue d'un point est la somme géométrique de son vecteur accélération d* entraînement, de son vecteur accélération relative et de son vecteur accélération complémentaire.
Il reste à définir simplement le vecteur accélération complémentaire. Les formules (4) s'y prêtent malaisément, mais il n'en est pas de même de celles que Von
obtient en cherchant les projections Jx, Jy, J, de J sur les axes du trièdre mobile.
On a
Jx = c'Jxo + Mî/o + yJ^o-
Si l'on remplace J^.^, J^^, et J-^ par leurs valeurs (4), et si l'on introduit les projections (p, q, r) du vecteur
rotation instantanée du mouvement (•^)» projections
dont les expressions sont données par les formules (9) du no 21 (Chapitre III), on trouve immédiatement
ydt dt
^ / dx dz"
^ / dy dx
Ces expressions montrent que le vecteur accéléraiion complémentaire J est le double du produit vectoriel du vecteur rotation instantanée w du système de comparaison et du vecteur vitesse relative V^ :
L'accélération complémentaire est nulle dans trois
cas : 1° Si 0) est nul, c'est-à-dire si le mouvement hélicoïdal tangent au mouvement d'entraînement se réduit
à Tme translation ; 2° Si V^ est nul, c'est-à-dire si le point M est en repos relativement au système de compa-
raison ; 3° Si V^ est parallèle à to, c'est-à-dire si la vitesse relative de M est parallèle à Vaxe du mouvement hélicoïdal tangent.
25. Composition de plusieurs mouvements. Composition des rotations. — On étend facilement la notion de la composition des mouvements au cas où ces mouvements sont en nombre quelconque. Soient So, Si, ...S„ des corps dont le premier est fixe, et dont les autres sont en mouvement. On peut considérer les mouvements
(^ )' (^)* '*' ( a ^ ] (le preniier absolu, les autres relatifs). On dira que le mouvement absolu [ ~ j résulte
de leur composition.
La règle de la composition des vitesses s'étend au
cas général. Désignons d'une manière générale par V,.; le vecteur vitesse du point M entraîné dans le mouve-
ment { 5- ) • En appliquant successivement le théorème
relatif à la composition de deux mouvements, on peut écrire la suite d'égalités vectorielles
'w,0 — '»— 1,0 "T Vn,n— 1»
d'où par addition
Vn =1 *^i.o ~r » 2,1 4" ••• ~r Vn,n--1 •
Ainsi le vecteur vitesse du point M, dans le mouvement absolu l^)» est la somme géométrique des vecteurs vitesses de ce point, supposé entraîné successivement dans les mouvements (^ )» (q^ )» ••• ( ^ *^ )'
Composition des rotations. — Examinons en particulier le cas où, à Tinstant t, tous les mouvements hélicoïdaux tangents à ces derniers mouvements se réduisent à des rotations, dont les vecteurs glissants représentatifs sont respectivement (Ai, Wi), ... (An, w^). Le
vecteur vitesse yh,h-i est donné, comme Ton sait (Chapitre III, n» 20, 2°), par le produit vectoriel
Yh,h-i = ^h X AhM, d'où
Vn,o est donc identique au moment résultant par
rapport au point M du système des vecteurs représentatifs considérés (Note I). Si Ton considère un autre système de rotations, dont les vecteurs représentatifs forment un système équivalent au premier, le vecteur vitesse du point M, entraîné dans le mouvement résultant de la composition de ces nouvelles rotations, sera
identique à Yn.o- En particulier :
Des rotations dont les axes sont concourants se composenitt en une rotation unique, dont le vecteur représentatif est la somme des vecteurs représentatifs des rotations données.
Des rotations dont les axes sont parallèles et dont les vitesses angulaires ont une somme algébrique différente de zéro se composent en une rotation unique dont la vitesse angulaire est égale à cette somme algébrique et dont Vajce passe par le barycentre d'un système quelconque de points pris respectivement sur les axes des rotations données et affectés de coefficients éga/ux aux vitesses angulaires correspondamies.
Système de rotations de résultante générale nulle. Couple de rotations. — Si la résultante générale du système des vecteurs représentatifs des rotations données est nulle, on sait que le moment résultant de ce système par rapport à un point quelconque M est
équipollent à un même vecteur V. Autrement dit, dans le mouvement résultant des rotations considérées, tous
les points du corps ont le même vecteur vitesse V. ^e mouvement est donc une translation de vecteur vitesse
(Chapitre III, h» 20, l^).
Il en est ainsi en particulier si le système considéré ^t constitué de deux rotations dont les vecteurs repré-
entatifs (Al, Wi) et (Ag, — Wi) forment un couple, et l'on
56 CINÉMATIQXTE
dit alors qu*on a affaire à un couple de rotations. Le vecteur vitesse de la translation équivalente à un couple de rotations est perpendiculaire au plan des axes (c'est V<ixe du couple).
Réduction canonique d'un système de rotations, -z- Dans le cas général, un système de vecteurs glissants est équivalent à un vecteur glissant unique et à un couple dont Taxe est parallèle à la droite support de ce vecteur glissant. Donc, en général, un système de rotations peut être réduit à une rotation unique et à une translation parallèle à Vaxe de cette rotation. Jae mouvement résultant de cette rotation et de cette translation n'est autre que le mouvement hélicoïdal tangent au mouvement résultant des rotations considérées.
Il va sans dire que tous les théorèmes que nous venons d'établir, relativement à la composition des rotations, no sont vrais qu'en ce qui concerne les vitesses.
EXERCICES
1. Le mouvement d*un point M mobile dans un plan peut être défini par les expressions en fonction du temps de ses coordonnées polaires.
OM = p = / (0, Ox, OM = ç = .9 (0,
O étant Torigine et O* l'axe polaire.
Trouver les composantes v^ et Vç du vecteur vitesse et les composantes y^ et yç du vecteur accélération du point M
suivant l'axe OM et l'axe qui fait avec OM l'angle -f- - .
A cet effet, on considérera le mouvement du point M comme résultant de deux mouvements : un mouvement de rotation de OM autour du point O et un mouvement de glissement du point M suivant OM, et l'on appliquera les théorèmes des no" 23 et 24.
On trouvera
dû do
La valeur de y^ peut encore s'écrire
2. Un point décrit d'un mouvement uniforme une génératrice d'un cylindre de révolution, pendant que celui-ci tourne d'un mouvement uniforme autour de son axe. Le point décrit une hélice. Construire ses vecteurs vitesse et accélération en appliquant la théorie de la composition des mouvements. En déduire des constructions géométriques pour la tangente à l'hélice et le centre de courbure de cette courbe.
3. Le mouvement d'un point M mobile dans l'espace peut être défini par les expressions, en fonction du temps, de ses coordonnées polaires
OM = r = / (<), U2,0M = 6 = 9' (0, ? = A (<),
ç désignant l'angle du plan méridien «OM et du plan zOx,
Trouver les composantes v-., «j, Vç de la vitesse du point M, suivant l'axe OM, suivant la tangente positive au méridien du point M, suivant la tangente positive au parallèle du point M en appliquant la méthode de l'exercice 1. *
On trouvera
dz £70 . . d(ù
dt ^ at ^ at
