MOUVEMENT B'UNE FIGURE PLANE
vitesse du point I, considéré comme lié au plan II, est nulle à rinstant considéré.
Pour cela, considérons le mouvement, défini par la relation (1), du point de contact sur Cq. Ce point est actuellement en I. On peut considérer son mouvement comme résultant de deux mouvements, l'un un mouvement d'entraînement qui est celui du plan II, l'autre un mouvement relatif tel que le point mobile décrive C de manière à coïncider constamment avec le point de contact des deux courbes. On a, en adoptant toujours les mêmes notations pour les vitesses,
Y„ et Vr sont tous les deux dirigés suivant la tangente en I aux deux courbes, ont même grandeur. —-
al
et même sens ; tout cela résulte immédiatement des
conditions qui définissent le roulement. V^, est donc nul, et cela établit la proposition.
Théorèm^e fondamental relatif au mouvement d'un plan glissant sur lui-même. — Ce théorème est le suivant :
Tout mouvement d'un plan sur lui-même, qui n'est pas un mouvement de translation, est un mouvement épicycloïdal, c'est-à-dire qu'on peut réaliser un tel mouvement en liant le plan mobile à une certaine courbe roulant sur une certaine courbe fixe.
Considérons en effet, dans un tel mouvement, les points de IIo qui à chaque instant sont c.i.r. Leur ônsemble forme une certaine courbe Cq (fig. 17). Nous pouvons également marquer dans le plan II les points qui viendront successivement en coïncidence avec les précédents. Leur ensemble forme une certaine courbe C. La conatruction même des courbes Cq et C établit
64 CIKÉltATmiJE
entre leurs points une certaine oorresi
points correspondants étant ceni qui viennent suoces-
aivement en coïncidence.
Je dis que C roule sur C„. En effet soit 1 le e.i.r. à un instant donné t. Considérons le mouvement de I anr C,,. On voit, en employant toujoura le même mode de raisonnement, qu'il résulte du mouvement d'enttaînement constitué par le mouvement de H et dn mouvement relatif d'un point mobile sur C. Et l'on a encore
Mais, puisque I est actnellement e.i.r., V, est nul.
Donc V. = V,. Cela exige : 1" que les courbes C et C» 60 touchent en I ; 2" que si s et s, sont les arcs AI et A„I comptés respectivement sur les courbes à partir d'origines quelconques, on ait
3° que, la tangente commune en I étant orientée pour chacune des courbes selon le sens des arcs croissants, on soit conduit à la même orientation pour cette tangente.
La relation (2) devant avoir lieu à chaque instant, on peut l'intégrer, ce qui donne
s = s„ -]- constante,
et l'on peut évidemment choisir les origines arbitraires A„ et A de manière que cette constante soit nulle.
Finalement, on voit que les trois conditions moyennant lesquelles la courbe roule sur C, sont réalisées, et le théorème que nous avions en vue est démontré.
On dit que C, est ia base du mouvement, et que C
MOUVEMENT d'UNE FIGURE PLANE
en est la roulante. On donne parfois le nom de roulette à la trajectoire d'un point quelconque entraîné dans le roïdement.
Vitesse angulaire de la rotation instantanée, — Considérons le mouvement défini par le roulement de la roulante G sur la base Cq (fig. 19), et par Téquation (1) du n» 28. Soit I le c.i.r. à l'instante Cq et C se touchent en I. Traçons deux axes rectangulaires la?, ly, le premier dirigé suivant la tangente commune aux deux courbes en I, dans le sens de la vitesse de ce point sur C,
f^ig. 19.
le second faisant l'angle + ô avec Ix, Soient Ko et R
les rayons de courbure de Cq et de C au point I. Ro sera considéré comme positif si la concavité de Cq ^n I est tournée vers les y positifs, c'est-à-dire sî le centre de courbure y© d® cette courbe est sur la partie positive de ly, et comme négatif dans le cas contraire. De même pour R = ly, y étant le centre de courbure de C en I.
Posons enfin
V = 5 - nn.
Au bout d'un temps Ai, le c.i.r. sera venu en un point l'o de Cq. La courbe C aura roulé sur C^ de telle manière que le point actuellement en I' soit venu se confondre avec l'o» Posons
arc II' =' arc II' i= As.
Bbicabd. — Cinématique* 5
66 ciuÉMATIQUE
Soient eofin Og et les angles, tendant vers zéro en même temps que As, qxte font les tangentes en l'g et en I' avec Ox.
En passant de la position initiale à la position finale, le plan mobile entr^né avec C a tourné de l'angle
que font les tangentes en I'« et en I', puisque la seconde yient s'appliquer sur la première, et l'on a
A( Ai ii \is As/
Si Ton fait maintenant tendre At vers zi mier membre tend vers la vitesse angulai.
As 1^
rotation instantanée, -— i
At
vers^ ïj' '^'* * donc la formule suivante, qui fait
connaître ui en fonction de la vitesse du c.i.r. sur la base et des éléments géométriques de cette courbe et de la roulante.
Noua poserons
(31 J^-±-l d'où K ""•
Ou A ainsi
Les conventions de signe introduites rendent la formule (4) absolument générale.
