CD

Ce qui se réduit à

ri" = (0 V.

En tenant compte de tout cela, les formules (8) deviennent

Xq" — — a>*a; — w'y,

y 0" = — ^^y + ^'x — wV,

MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE 69

On a pu supprimer les indices des coordonnées dans les seconds membres, car il résulte du choix des axes que iCo = x, y^ = y.

Ces formules donnent les projections du vecteur accélération du point M.

Centre des accéléralions, • — Cherchons s'il existe un point d'accélération nulle. Pour un tel point H, de coordonnées (X^, Yi), on aura

(10) \ ~ co^X, ^ C'Y, = 0,

Ces deux équations représentant deux droites rectangulaires, le point H cherché existe. On lui donne le nom de centre des accélérations.

La considération du point H permet d'interpréter simplement les formulas (9). On a, en effet, par soustraction de (9) et de (10),

(U\ { X," ^-~i^Hx — X,) — i^'(y — Y,), ^ ^ l y/ = o>«(y — Y,) + o3'(a; — XJ.

Or, considérons un mouvement de rotation s'ef f ectuant autour du point H avec une vitesse angulaire variable to, dont la loi soit la même que celle de la vitesse angulaire de la rotation tangente au mouvement considéré.

Dans ce mouvement de rotation, les composantes du vecteur accélération du point M sont données par les formules (2) du no,18 (Chapitre II). On constate que ces formules sjpnt identiques aux formules (11) qui viennent d'être écrites. Par conséquent :

Tout se passe, à un instant donné, quant à la distril ion des a^eéléroitions, comme si le plan mobile était c mé d'un certain mouvement de rotation autour du i tre des accélérations,

vC théorème est analogue à celui qui règle la distri-

bution des vitesses. Mais il faut remarquer que le c.i.r, est déterminé uniquement par les conditions géométriques du mouvement, tandis que le centre des accélérations dépend de la loi de temps sxdvant lequel s'effectue ce mouvement.

Cercle des inflexions. — Le plan mobile étant toujours dans la position qu'il occupe à l'instant t, cherobons le lieu du centre des accélérations, en supposant que, (o étant donné, on fasse varier w'. Il suffit pour cela d'éliminer w' entre les équations (10). On trouve, en remplaçant (Xi, Y^) par (x, y),

û> (»* + y*) + Vy = 0, ou (12)1 X» H- y« + Ky = 0,

en introduisant la longueur K définie par la formule (3) du no 28. Si l'on porte sur Oy une longueur IJ égale à — K, l'équation (12) représente un cercle de diamètre IJ. Ce cercle est dit cercle des inflexions.

Voici pourquoi : M étant un point de ce cercle, le vecteur accélération de M est nul, pour une certaine valeur de w'. Donc son accélération normale, en particulier, est nulle. Or, cette accélération normale a pour

valeur t^» V„ étant la vitesse du point M et R^ 1®

rayon de courbure de sa trajectoire. Si M est distinct du point I, Vi n'est pas nul. Rm doit donc être infini, c'est-à-dire que la trajectoire du point M présente en général un point d'inflexion en M. Ainsi le cercle (12) est le lieu des points qui, à un instcmt donné, sont povnts d'inflexion de leurs trajectoires. D'oti le nom de ce cercle.

On voit par l'équation (12) que le cercle des inflexions ne dépend pas de la loi de temps du mouvement, ce qui

rvr-

MOUVEMENT d'UNE FIGURE PLANE

est naturel, étant donnée sa signification géométrique.

Le point J, de coordonnées (0, — K), est centre des accélérations pour w' = 0. On l'appelle centre géométrique des accélérations,

30. Centres de courbure des trajectoires. — Considérons le point M, de coordonnées (a?, y), et proposonsnouSy en nous appuyant sur ce qui précède, de construire le centre de courbure de la trajectoire de ce point (fig. 20).

La question étant de nature géométrique, nous ' pouvons, pour la traiter, supposer que le mouvement s'effectue suivant une loi de temps quelconque. Faisons l'hypothèse a>' = 0. Le

centre des accélérations est alors en J et les formules (9) se réduisent à

Fig. 20.

— 0)2^ — wV = — a)«(y + K).

Comme — x et — (y -f K) sont les projections sur

les axes du vecteur MJ, on voit que le vecteur accéléra-

tion MW du point M est porté par MJ, de M vers J et pour longueur <o* M J.

MI étant la normale en M, on obtient le vecteur

Dcélération normale MW» de ce point, en projetant V en Wn sur MI. Par conséquent, si l'on désigne encore

par Vil la vitesse de M et par R» le rayon de courbure de la trajectoire du même point, on a :

MWn =

d*où Rm =

R/ " MWn

Soit L la projection du point J sur MI. On a

MWn

MW

ML ~ MJ

= 0)*, d'où MWn = w*ML.

D'autre part Donc

V^ = a)».MI .

Rm =