MOUVEMENT D'UNE FIGURE PLANE

tuant le long de F. Le vecteur vitesse relative du point fjL est dirigé suivant Mfx, puisque cette droite est tangente à F. Il en résulte que la composante, normale à M(x, de la vitesse absolue du point (jl, est la même que la composante normale de la vitesse d'entraînement du même point.

Tout se passe donc, en ce qui concerne la recherche du point Yji, comme si le point fA était entraîné dans le mouvement du plan II. Mais alors, la étant la normale à la trajectoire du point {x, y^ serait le centre de courbure de cette, trajectoire. On aboutit donc à ce théorème :

Le centre de courbure de V enveloppe d'une courbe n'est autre que celui de la trajectoire du centre de courbure de cette courbe nu point oH elle touche son enveloppe, ce centre de courbure éta/nt considéré comme lié au plan mobile»

On peut donc trouver ce centre de courbure en appliquant hb construction de Savary.

Cercle des rebroussements. — Dans la construction précédente, on à supposé que le point ]l était à distance finie, c'est-à-dire que le point M n'est pas un point d'inflexion de G.

Par un passage à la limite, que nous ne nous arrêterons pas à justifier, on peut étendre le résultat à ce dernier cas. Cela permet en particulier de construire le centre dé courbure de l'enveloppe d*une droite D (fig. 26).

Soit M le^oint caractéristique de

M est la projection de I sur D.

centre de courbure en M de D

< ! le point à l'infini |i de IM.

. pliquons la construction de la figure 20. Il faut

Fig. 25.

mener J(jl, c'est-à-dire mener par le point J une parallèle à IM, prendre le point d'intersection N de cette parallèle avec la perpendiculaire IN à IM, puis mener NB parallèle à JI. N§ rencontre IM au centre dô courbure demandé 8.

On voit que 5 ne dépend que de la direction de D, et non de la position de cette droite, comme il est naturel, les courbes enveloppes de droites parallèles liées entre elles étant elles-mêmes des courbes paraUèles et ayant même centre de courbure en des points correspondants.

On voit encore que le point o appartient au cercle de diamètre IJ', J' étant symétrique de J par rapport à I. Ce cercle est dit cercle des rehrouaaemenU, Voici pourquoi : si la droite D passe par o, le rayon de courbure MB de son enveloppe devient nul, c'est-à-dire que cette enveloppe présente en général en o-'un point de rebroussement.

32. Applications. — La théorie du mouvement d'un plan qui glisse sur lui-même est susceptible de nombreuses applications, qui conduisent à des résultats géométriques intéressants. Nous allons en donner quelques exemples.

Mouvement à trajectoires elliptiques, — Etudions le mouvement d'un plan n défini par ces conditions : deux points M et N du plan décrivent respectivement deux droites fixes données yo^o ®t ïo^o (^g- 26).

Pour une position donnée de n, on obtient immédiatement le c.i.r. I : ce point doit en effet appartenir aux normales aux trajectoires des points M et N-, c'est-à-dire qu'il est à la rencontre de la perpendiculaire en M à Yo^^o <^t do la perpendiculaire à N à yo^ o- Cherchons maintenant la base et la roulante du mouvement. La seconde de ces courbes est le lieu du point I dans le plan II. Or,

MOUVEMENT d'UNE FIGURE PLANE 79

Tangle MIN = ir — aJoYo^o ©tant de grandeur constante, ce lieu est un cercle C passant par M et N. Il est visible que C passe constamment par Yq ©t a pour diamètre ^qÏ. Y«I est donc de longueur constante, ce qui prouve que

Fig. 26

le lieu de I dans le plan fixe, c'est-à-dire la base du mouvement, est un cercle C© du centre yo ot do rayon yol- On vérifie que C touche C© en I. Ainsi le mouvement considéré peut être engendré par le roulement d'un cercle C à V intérieur d*un cercle Cq, de rayon double du premier.

Soit P un point quelconque de C. Cherchons sa trajectoire. La normale à sa trajectoire est PI. La tangente * ette trajectoire est donc Pyo- Comme elle passe par I point fixe yo» on en conclut que le point P décrit % 1 droite passant par -^q.

loit maintenant \l un point quelconque de II. Pour ( erminer sa trajectoire, menons le diamètre ^y de C,

et soient P et Q ses points de rencontre avec C. D'après ce qu'on vient de voir, P et Q décrivent deux droites YoXo et YoYq. Ces droites sont rectangulaires. Comme (jlP et [jlQ sont de longueurs constantes, on en conclut, d'après un théorème bien connu, que le point {jl décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suivant Yo^o «* YoYq, et ont pour demi -longueurs respectives fxQ et ixP.

Epicycl&ides. — Considérons un mouvement dans lequel la base et la roulante sont deux cercles Cq ©t C,

Fig. 27.

de centres respectifs Oq et (fig. 27). La trajectoire : d'un point M du plan mobile II est dite une épicydoïde. Ce terme est généralement réservé au cas où, comme dans la figure, le contact des cercles est extérieur. Quand il est intérieur, on emploie le terme d'hypocycloïde. Enfin quand, le contact étant toujours intérieur, le cercle roulant est de rayon plus grand que le cercle base, la trajectoire du point M est quelquefois dite péricy- Aoid*\ Nous conserverons pour tous les cas le mot (y épicydoïde.

L' épicydoïde est dite ordinaire, allongée ou ra^ccourcie, suivant que le point décrivant est sur le cercle C, à