MOUVEMENT D'UNE FIGURE PLANE SI

l'extérieur de oe cercle ou à son intérieur {cm 'd<^ la figure)*. n^".!'

Les épicycloïdcB sont des courbes algébriques fermées, quand le rapport des rayons des cercles C et Cq est un nombre rationnel : le plan mobile, partant d'une posi" tien initiale, y revient après que C a tourné un nombre entier de fois autour de Cq. Si le rapport des rayons est au contraire irrationnel, le plan mobile ne revient jamaisv à sa position initiale, et Tépicycloïde est une courbe transcendante non fermée qui tend à remplir Taire delà couronne comprise entre deux cercles concentriques.

Toute épicyéloïde est susceptible d*une double généra' tion, c'est-à-dire qu'elle peut être considérée de deux manières différentes comme épicycloïde. Construisons en effet le parallélogramme OoOMO'. MO', égal à OoO, est un segment, de grandeur constante, et Ton peut considérer le mouvement d'un plan II' lié à ce segment. Cherchons le ct.r. dans ce mouvement. Il se trouve d'abord sur la normale à la trajectoire du, point M, qui est la même, que l'on considère oe point comme lié au plan II ou bien au plan II'. Cette normale est MI. En second lieu, il se trouve sur la normale à la trajectoire du point 0'. Or C décrit visiblement un cercle de centre Oq et de rayon égal à OM. Le cÀ.r. cherché est donc à l'intersection I' de MI et de O'Oq. Le lieu du point I' est un cercle Cq' de centre Oq. On a en effet, par des triangles semblables,

OqI' OqI OM 01 '

< qui montre que Ool' est constant. Le point I' décrit, ] r rapport au plan II', un cercle C de centre 0', car

< [' = O'Oo -f- OqI', somme de deux segments de

Bbicabd. — Cinématique.

lamgueurs constantes, est lui-même . de longueur constante. Par conséquent, en vertu du théorème général sur le mouvement épicycloïdal, le mo]ivement du plan fl' peut être engendré par le roulement du cercle C sur le cercle C^,', et la trajectoire du point M est une épicycloïde (une péricycloîde, dans le cas de la figure), attachée à ce roulement.

Développée d*une épicycloïde ordinaire, — Considérons r épicycloïde ordinaire E décrite par le point M du cercle G (fig. 28) et cherchons sa développée.

En appliquant la construction de Savary, on obtient

Fig. 28.

en ym le centre de courbure de E en M, comme l'indique la figure. Soit Q le second point de rencontre de MI avec Cq. OoQ est parallèle à OM. yu divise OoP dans le

rapport -pTr» c'est-à-dire dans un rapport constant.

Si donc on mène ywOi parallèle à OM, yuOi est dans un rapport constant avec PO et par suite de longueur

MOUVEMENT d'TJN CORPS SOLIDE 83

constante, et F on peut considérer le mouvement d'un plan II', entraîné avec YmOi. Cherchons lec.t.r., dans ce mouvement. Il se trouve sur la nprmale à la trajectoire du point Oi. Mais ce point décrit un cercle de centre Oq, car OoOi, dans un rapport constant avec OoO, est de longueur constante. Il se trouve aussi sur la normale à la trajectoire de yw. Mais, ce point décrivant la développée de E, sa trajectoire est tangente à YmM. Le c.i.r. cherché Ii se trouve donc à l'intersection de OqO et de la perpendiculaire élevée en ym à ymM.

La figure ym OiIiOq est semblable à la figure POIOq» le rapport de similitude étant constant. Oïli et O^Ii sont donc des segments de longueurs constantes, proportionnels à 01 et OqI. On en conclut que, dans le mouvement du plan n, la base est le cercle de centre o et de rayon OqIi, la roulante le cercle de centre Oj et de rayon l^. Le point yu décrit donc une épioycloïde E^. Cette épicycloide est ordinaire, car le triangle OiYmIii étant semblable au triangle OPI, est isocèle, et Ton a Oi^M = Ojli, ce qui montre que Ym est sur le cercle roulant. Enfin la relation

0;i, 01 Ooli "" Ool

montre que E^ est semblable à Ë. Ainsi :

La développée d'une épicycloïde ordinaire est une épicycloïde semhlahle.

B. — Mouvement d'un corps qui possède un point fixe.

li. Mouvement d'une sphère qui glisse sujr elle-

] ime. — Considérons un corps animé d'un mouvement

qu'un de ses points reste fixe. Soit S une sphère

e, de centre et de rayon arbitraire. Si l'on imagine

84 OIKÉMATIQUX

une gerbe de droites en nombre quelconque issues du point et liées au corps, les traces de ces droites sur S formeront une figure de grandeur invariable, qui se mouvra sur la sphère en môme temps que le corps autour du point 0. On peut supposer que cette gerbe constitue F ensemble des droites issues du point 0, et Ton arrive ainsi à la conception d'une sphère se mouvtmt, en glissant sur une sphère fixe, c'est-à-dire du mouvement à la surface d'une sphère.

Il est clair que l'étude du mouvement autour d'un point fixe et celle du mouvement à la surface d'tme sphère sont identiques, chaque propriété de l'un de ces mouvements faisant immédiatement connaître une propriété de l'autre.

34. Mouvement épicycloïdal sphérique. Génération du mouvement autour d'un point fixe. — Etant données deux positions II et II' du corps, on sait qu'on peut amener celui-ci de l'une à l'autre par une rotation autour d'un certain axe (n<> 11, a). Si II' tend vers H, cet axe tend en général vers une position limite 01 qui est dite axe instanta/né de rotaiion (a.t.r.), et en raisonnant comme on l'a fait -au n^ 26, on voit qu'il existe à chaque instant une rotation tangente au mouvement, l'axe de cette rotation étant Va.i.r. 01.

Si l'on passe au mouvement sphérique, on voit qu'il existe à chaque instant, à la surface de la sphère Sq sur laquelle glisse la sphère S, un c.i.r (^).

Soient Cq le lieu des c.i.r. sur la sphère fixe Sq et C le lieu des points de S qui deviennent successivement e.i.r. En raisonnant comme on l'a fait au n<> 28, on

1, Il serait plus exact de dire qu'il existe deux c.i.r., traces de Va.i.r. sur Sq. Mais on peut, â chaque instant, orienter Va.i.r. suivant la convention du n*» 20, 2°. L'a.â.r. devient ainsi une demi-droite dont la trace sur Sq est unique.

MOUVEMENT D'uN COBPS SOLIDE

voit que le mouvement de S peut être engendré par le roulement de C sur Cq, le roulement de deux courbes à la surface de la sphère se définissant comme dans le plan. Ainsi, tout mouvement à la surface de la sphère est un mouvement épicycloïdal. Il est à noter qu'il n'y a pas ici, comme dans le plan» un mouvement exceptionnel de translation pour lequel le théorème n'est plus vrai. Les courbes Cq et C seront encore dites base et roulcmte du mouvement.

Si l'on considère les cônes Fo et F, de sommet commun et de directrices respectives Cq et C, les sections de ces cônes par une sphère de centre O et de rayon quelconque sont évidemment deux courbes roulant encore l'une sur l'autre. On dit que les deux cônes roulent aussi l'un sur l'autre. F© est fixe et F est lié au corps mobile. Ainsi :

Le mouvement d'un corps qui possède un point jixe '^ut être engendré en lia/nt le corps à un cône qui roule «ur U7I cône fixe de même sommet,

Fq est dit cône hase et F cône'roulant.

On peut établir, pour les centres de courbure géodesifue (*) des trajectoires, dans le mouvement à la surface d'une sphère, une construction semblable à celle de Savary et ime formule analogue à celle d'Euler. Kous ne nous y arrêterons pas.