MOUVEMENT 1>'UN CORP3 SOLIDE

Fig. 29,

de viration correspondant et de la courbe Cq. Le point M

a un certain vecteur vitesse V«, dirigé suivant la tangente à Cq. Mais on peut considérer le mouvement de M comme un mouvement absolu, résultant d'un mouvement d'entraînement, qui n*est autre que le mouvement considéré, et d'un mouvement relatif s' effectuant sur une certaine trajectoire C tracée sur la surface S, puisque par définition même de cette surface, le point M ne cesse de lui appartenir. Le vecteur

vitesse d'entraînement Y,, est dirigé

suivant X, puisque le point M appartient à l'axe de

viration, et le vecteur vitesse relatif V^ est tangent à une courbe tracée sur S. L'égalité géométrique

montre que le plan (X, Y a) se confoïid avec le plan

(X, Vr). Mais le premier de ces plans est le plan tangent à Sq en M, et le second est le plan tangent à D au même point. Le point M étant arbitraire sur X, le théorème énoncé est démontré. Ainsi :

Pour réaliser le mouvement le plus général d'un corps solide, on reliera ce corps à une surfaces réglée S dont les génératrices viennent successivement coïncider avec celles

me surface réglée fixe Sq, 6< cela de telle manière que deux surfaces se ra^ccordent à chaque instant le long

leur génératrice commune.

On donne le nom de viration à ce mouvement parti-

lier d'tme surface réglée.

La correspondanoe entre les génératrices de I] et de lo qui viennent successivement en coïncidence doit être telle que le raccordement dont il est question dans renoncé soit possible. Si Ton fait appel à la théorie générale des surfaces réglées, on reconnaît que cela exige que, poiir deux génératrices correspondantes, les paramètres de distribution soient égaux. En outre, le mouvement doit s'effectuer de telle manière que les pointa centraux de deux génératrices en coïncidence soient eux-mêmes en coïncidence.

On voit encore que, si l'une des surfaces Sq ©* - ^^ développable, il en est nécessairement de môme pour r autre, sans quoi le raccordement serait impossible.

Dans le cas général, on ne peut parler de roulement proprement dit. L'égalité vectorielle écrite plus haut

montre en effet que, si V« n'est pas nul, les deux courbes Co et Cl trajectoires du point M sur So et Sj ne sont même pas tangentes. Il ne peut y avoir roulement que

si Ve est constamment nul, c'est-à-dire si le mouvement hélicoïdal tangent a/u mouvement se réduit toujowrs à une rotaUon, et l'égalité vectorielle, se réduisant alors à

on en conclut que C roule bien sur Co- La courbe Cq est arbitraire sur ilo» Ainsi, dans ce cas, à toute courbe tracée sur S^ correspond sur 2 une courbe qui roule sur la précédente, et l'on peut dire que 2 roule sur Sq. On reconnaît aussi que les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, avec conservation des génératrices.

La théorie du mouvement général d'un corps solide donne encore lieu à d'intéressants développements relatifs aux propriétés géométriques des normales et 4es

MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE 89

tangentes aux trajectoires, des caractéristiques des plans entraînés dans le mouvement, etc. 'Ces développements font appel à la théorie des complexes de droites et particulièrement à celle du complexe linéaire. Nous les laisserons de côté.

36. Mouvements à plusieurs degrés de liberté. — Dans tout ce qui précède, nous avons considéré exclusivement les mouvements tels qu'ils s'effectuent nécessairement dans la réalité, le corps mobile prenant une infinité simple de positions et ses points décrivant des lignes trajectoires. Il en est ainsi, parce que le temps n'a qu'une dimension. On peut toutefois, du point de vue géométrique, étendre le sens du mot. mouvement,

La position d'un corps solide dépend, on le sait, de six paramètres. Dans un mouvement ordinaire, ces six paramètres sont des fonctions du temps, c'est-à-dire d'une seule variable.

Mais on peut imaginer que ces six paramètres soient fonctions de deux variables indépendantes. Le corps peut alors prendre une infinité double de positions, ou comme l'on dit encore, oo* positions. On dit qu'il est animé d'un mouvement au deuxième degré de liberté, ou à deux pa/ramiètres. *

Dans un mouvement à deux paramètres, les points du corps ont des surfaces trajectoires.

On peut de même considérer des mouvements à trois, quatre et cinq paramètres (un mouvement à six paramètres serait celïii d'tm corps pouvant occuper n'importe quelle position, c'est-à-dire absolument libre). Bien entendu, les mouvements à plusieurs paramètres ) sont pas réalisables physiquement, c'est-à-dire qu'il t impossible de faire occuper en un temps fini au >rps mobile toutes les positions qu'il peut prendre dans L tel mouvement.

Ils n'en jouissent pas moins de propriétés géométriques intéressantes, que le manque de place ne permet pas d'exposer ici.

EXERCICES

1. Faire l'étude géométrique du mouvement défini à l'exercice 3 du chapitre I : courbes, base et roulante, trajectoire d'un point, enveloppe d'une droite du plan mobile.

2. Une courbe plane F se meut dans son plan de manière à toucher en un point fixe une droite fixe. Quelles sont la base et la roulante du mouvement épicycloïdal qui engendre ce mouvement?

3. Deux courbes convexes Cq et C d'un même plan sont la première fixe et la seconde mobile. Un fil inextensible sans fin est tendu autour des courbes Co et C comme une courroie entoure deux poulies, et C se meut de manière que le fil ne glisse sur aucune des deux courbes. Four une position donnée de C, quel est le cÀ,r, du plan mobile entraîné avec cette courbe?

4. Conservant les notations du n° 30, soient M et N deux points du plan mobile, ym et yH les centres de courbure de leurs trajectoires, Q le point de rencontre des droites MN et ym yw Démontrer que les droites IQ et \x sont antiparal-

lèles par rapport à l'angle MIN, c'est-à-dire que cet angle

et l'angle a;IQ ont les mêmes bissectrices (BoBUiLiEB).

Ce théorème permet de résoudre le problème suivant : Connaissant les centres de courbure des trajectoires de deux points du plan mobile, construire le centre de courbure de la trajectoire d'un point quelconque du même plan,

5. Les développements des n»» 28 et suivants supposent que le cA.r, est à distance finie. Il peut arriver qu'à un certain instant il soit rejeté à l'infini, et les développements dont il s'agit ne sont plus valables.

Faire, dans ce cas particulier, l'étude de la distribution derf accélérations et des courbures des trajectoires, et démontrer en particulier ceci :

M et N étant deux points quelconques du plan mobile, Ym et Y» les centres de courbure de leurs trajectoires, Q le point de rencontre de MN et de ym Yw» le symétrique de Q

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\ par rapport au milieu de MN appartient à une certaine droite indépendante des points M et N, et parallèle à' la direction dans laquelle est re jetée à l'infini le cA.r, Cette droite est l'asymptote commune de la base et de la roulante, dont le point de contact s'éloigne à rinôni dans la direction considérée.

Ce théorème permet do résoudre, dans le cas particulier dont il s'agit, le problème énoncé à la fin de l'exercice précé. dent.