ENGRENAGES CYLINDRIQUES

non concourants» De là trois classes d'engrenages que nous étudierons successivement.

A. — AXBS PARALLÈLES (BNGBHNAGBS CYLINDRIQUES).

39. ' Cylindres primitifs et cercles primitifs. — Soient toujours X et X' les axes, supposés parallèles, autour desquels les corps A et A' sont animés de rotations nniformes R et R', de vitesses angulaires respectives 0) et (û' (fig. 30). Ces ^,

rotations peuvent être représentées par des

vecteurs w et w', supportés respectivement *i i par X et X', et aux- — ».

quels nous donnerons comme origines deux points et 0', traces de X et de X' sur un Fig. 30.

plan P perpendiculaire à ces axes. Appliquons la méthode du n» 38 çt imprimons au bâti qui supporte X et X' la rota-

tion R~i, représentée par le vecteur — w. Le corps A devient ainsi immobile, et le mouvement du corps B résulte des rotations R' et R~^. Or, comme elles ont leurs axes parallèles, ces rotations, si Von suppose lo' — to :^ 0, se composent, à un instant quelconque, en une rotation unique, de vitesse angidaire w' — w, dont Taxe Y passe par le point I, barycentre des points et 0' affectés respectivement des coefficients — w et w' (Chapitre IV, n® 26). Le point I fest sur 00' et divise ce segment

dans le rapport •=-t-^ = — •

lO (o

Bricard. — ~ Cinématique. 7

Au cours du mouvement R~^R', la longueur 00' reste

invariable, et de même les longueurs 10 et 10', puisque

co'

— est constant.

Le point I décrit donc dans le corps fixe A un cercle C de centre 0, et dans le corps A', un cercle C de centre C. Si Ton considère les sections des corps A et A' par le plan P, la première est fixe et la seconde constitue une figure plane de grandeur invariable pour le mouvement de laquelle le point I est c.i.r. Il résulte de ce qu'on vient de dire et du théorème général sur le mouvement épicycloïdal (Chapitre V, n<> 28), que le mouvement dont il 8^ agit peut être engendré par le roulement du cercle C sur le cercle C.

Les deux cylindres de révolution ayant pour sections droites C et C sont dits cylindres primitifs de 1* engrenage. Ils roulent l'un sur l'autre. En résumé, les cylindres primitifs ont des rayons inversement proportionnels aux vitesses angulaires des rotations considérées. Leur contact est intérieur si ces rotations sont de même sens (cas de la figure) et extérieur dans le cas con* traire.

On peut réaliser les cylindres primitifs mêmes et constituer l'engrenage simplement par ces deux cylindres roulant l'un sur l'autre. On obtient alors l'engrenage dit à friction, employé dans certains cas où l'effort à transmettre est assez faible pour ne pas provoquer un glissement relatif des deux cylindres. Mais le plus souvent, on ne peut compter sur une adhérence suffisante de ceux-ci, et il faut tailler les corps A et A' suivant des surfaces conjuguées.

En général on prend pour ces dernières des cylindres de génératrices parallèles aux axes X et X', comme il est naturel, et l'engrenage est dit cylindrique.

Dans l'étude cinématique des engrenages cylindriques,

ENGBEKAGBS CTLINDRIQnES

on peut évidemment se borner à considérer la figure dans le plan P. Les cercles C et C^ traces des cylindres primitifs, sont dits cercles primitifs, et les traces des cylindres qui constituent les surfaces conjuguées sont dites ^profils conjugués.

Eappelons enfin qu'il a fallu supposer (o' — (0960. Donc il est impossible de réaliser un engrenage simple transformant l'une dans l'autre deux rotations de même sens et de même vitesse angulaire autour de deux axes parallèles.

40. Construction des profils conjugués. — Soient C et C les cercles primitifs, de centres respectifs et 0',

R et de rayons R et R' (fig. 31). Le rapport ~ est égal à

la valeur absolue du rapport —7- Le contact des cercles

est intérieur si ce dernier rapport est positif et extérieur dans le cas contraire (cas de la figure).

Si G et G' sont deux profils conjugués, liés respectivement aux cercles C et C, Gr doit être l'enveloppe de Gr' quand C roule sur C. On peut

indiquer deux méthodes générales pour la construction pratique d'un couple de profils conjugués.

Fig. 31.

1° Méthode des enveloppes. — Donnons-nous arbitrairement le profil G-'. Marquons sur C un point Ii. Ce point sera à un certain moment le point de contact de C roulant sur C, et Ton obtiendra le point de contact de G' avec son enveloppe G en abaissant du point Ii une normale IiM sur la position correspondante de G'. Or, portons sur le cercle G', dans le sens convenable, un arc IIÎ égal à Tare IIi et abaissons du point l[ la normale liM' sur la courbe G'. Il est clair que, lorsque Ii sera le point de contact des deux cercles G et G', I/M' viendra s'appliquer sur IiM. Si donc on décrit du point II un cercle, de rayon égal à IiM', ce cercle est tangent à G au point M. G est donc l'enveloppe des cercles analogues, et l'on aboutit à la construction suivante.

M' étant un point du profil donné G', menons en ce point la normale à G' et soit IJ le point oU cette normale rencontre G^ Portons sur G Varc ïï^ égal à Varc Ili et décrivons un cercle de centre I^ et de rayon égal à I(M'. Le profil cherché G, conjugué de G', est V enveloppe du cercle ainsi obtenu^ quand on fait varier le point M' sur G'.

Env faisant la construction pour un certain nombre de points M' suffisamment rapprochés, les cercles correspondants seront eux-mêmes assez rapprochés pour que leur enveloppe apparaisse nettement.

Dans la pratique, les points Ii et !( intervenant dans la construction seront toujours assez rapprochés du point I pour que l'on puisse confondre, sans erreur sensible, les longueurs des arcs IIi et II 'i avec celles de leurs cordes. On fera donc corde IIi = corde III^

2» Méthode des roulettes, — I^es cercles primitifs C : t et G' étant toujours donnés, traçons une courbe T -j^ quelconque touchant ces deux cercles en I (fig. 32).

ENGBSNAGES CYLINDRIQUES

Faisons rouler la courbe F successivement sur C et C Un point M, lié à F, décrira dans les deux mouvements respectivement les trajectoires G et G'. G et G' constituent un eouple de profils conjugués. En gffet, faisons rouler simultanément le cercle C et la courbe F sur le cercle C, de manière que les points de contact ne cessent de coïncider. Il est clair que le mouvement relatif de o>' r par rapport à C n'est autre quele roulement qui engendre G'.

A un instant quelconque, le point M lié à F appartient à la

fois à G et à la position prise par G' à l'instant considéré, et les normales en M à G et à G' sont confondues, puisqu'elles doivent toutes les deux passer par le point de contact des trois courbes C, C et V. G' ne cesse donc pas d'être tangente à G, ce qui établit la. proposition.

Cette méthode se prête au tracé des roues d'assortiment. On nomme ainsi deux séries de roues, telles que toute roue de l'une des séries puisse être associée à ute roue de l'autre série, de manière à constituer un igrenage fonctionnant correctement. Or on voit l'étant donnée la courbe F, la construction qui ►nne G est indépendante du cercle C, et la construcm qui donne G' est indépendante du cercle C. Donc,

en prenant un nombre quelconque de cercles primitifs C et C on obtiendra, par le roulement de F sur les cercles C, puis sur les cercles C, des roues telles que Tune quelconqjie de celles de la première série puisse engrener avec Tune quelconque de celles de la seconde série, c'est-à-dire des roues d'assortiment en aussi grand nombre qu'on voudra.

Naturellement, si l'on veut construire un engrenage extérieur, comme dans le cas de la figure, le roulement de r devra se faire à V intérieur de l'un des cercles primitifs, et à V extérieur de l'autre. Pour un engrenage intérieur, les roulements devraient être simultanément extérieurs ou intérieurs.

41. Engrenages à flancs épicycloïdaux et engrenages à développantes de cercle. — Il résulte de ce qui vient d'être dit qu'il existe a priori une grande indétermination dans le choix des profils conjugués. Pratiquement on n'emploie guère que les profils épicycloïdcmx et les profils en développa/ntes de cercle :

1° Engrenages à flcmcs épicycloïdaux. — On les obtient par application de la méthode des roulettes (n^ 40, 2°).

C et C étant toujours les cercles primitifs, se touchant en I (fig. 33), traçons deux cercles Fi et Fj, disposés comme l'indique la figure, et faisons d'abord rouler le cercle Fi successivement sur les cercles C et C, les sens de ces roulements étant indiqués par la flèche. Le point I, entraîné dans ces roulements, décrira des épicycloïdes Gi et Gi (dans le cas de la figure, Gi est une épicycloïde proprement dite, et G/ une hypocycloïde)^ Faisons ensuite rouler le cercle i\ successivement sur C et sur C Le point I, entraîné dans ces roulements, décrira une hypocycloïde G2 et une épicycloïde G^'. Il résulte àeé explications générales données sur la méthode des roulettes que l'on obtient deux profils conjugués consti-