AB = A'B

d'où

(1) La limitation des profils G et G' est indiquée, sur la figure 34> par des traits normaux à ces profils.

EKGBENAG1&8 CTLINDBIQUES

Ainsi, les rayons des cercles primitifs doivent être entre eux dans un rapport rationnel.

Ajoutons enfin que, pour permettre le fonctionnement de l'engrenage dans les deux sens de rotation, il convient de réaliser, outre les séries de profils G et G', deux autres séries de profils qu'il sera naturel de faire symétriques des premiers par rapport à des rayons. On aboutira ^insi k la division de l'engrenage en dents.

On limite les dents, extérieurement, à un cercle y dit cercle d' échcmfrinement, et, intérieurement, à un cercle Y dit cercle de pied ou d'évidement y

Voici encore quelques termes y\ \ \ techniques relatifs aux engrenages.

L'arc AB, compté sur le cercle primitif, étant le pas, l'arc AC est V épaisseur d'une dent, l'arc CB est le creux (que l'on fait un peu plus grand que l'épaisseur, pour permettre un certain jeu). AD est le flanc, A£ la /ocd, DTF la racine de la dent. .-' /' /

Quand les deu:?: roues d'un en- y /

grenage ont des rayons différents, on appelle pignon la plus petite. Fig. 85.

On trouvera dans les ouvrages techniques des indications sur les dimensions à donner aux dents, en s' appuyant sur la résistance des matériaux, sur les proportions ordinairement adoptées dans leur tracé, sur la description approximative des profils épicycloïdaux ou en développante au moyen d'arcs de cercle, etc.

Ba/pport des vitesses de rotation des deux roues. — 11 résulte de la théorie générale des engrenages que les vitesses angulaires des deux roues sont, en valeurs

absolues, inversement proportionnelles aux rayons des cercles primitifs correspondants. On a donc

le signe supérieur convenant dans le cas d'un engrenage intérieur, et le signe inférieur dans le cas d'un engrenage extérieur. En rapprochant cette égalité de T égalité (1), on a l'importante formule

Les vitesses angulaires de deux roues d^ engrenage sont inversement proportionnelles a/ux nombres de dents correspondantSf et ces vitesses sont de même signe ou de signes contraires, suivant que Vengrenage est intérieur ou extérieur.

43. Crémaillères. — Si le rayon de l'un des deux cercles primitifs, C par exemple, devient infini, le mécanisme obtenu prend le nom de crémaillère. Une crémaillère transforme un mouvement de rotation en un mouvement de translation.

Les principes développés précédemment s'appliquent sans modifications aux crémaillères. On peut obtenir des couples de profils conjugués par la méthode des enveloppes ou par celle des roulettes.

Les engrenages à flancs épicycloïdaux deviennent, dans le cas de la crémaillère, des engrenages à flancs épicycloïdaux pour la roue, et cycloïdaux pour la crémaillère. Les engrenages à développante de cercle deviennent des engrenages oti les profils conjugués sont une développante pour la roue et une droite pour la crémaillère.

44. Engrenage hélicoïdal. — Les engrenages cylindriques donnent nécessairement lieu à des frottements.

ENGBENAGE HÉLICOÏDAL 109

Soit en effet M» à un certain instant, le point de contact d'un profil G' avec le profil conjugué G. Si, au même instant, I est le point de contact des cercles primitifs, le point M,' considéré comme entraîné par le cercle C roulant sur le cercle C supposé fixe, possède une vitesse proportionnelle à IM. Cette vitesse ne peut être nulle que si le point M coïncide avec le point I. Il y a donc glissement du profil G' sur le profil G, sauf aux instants où le contact de ces deux profils a lieu en I, ce qui ne peut avoir lieu constamment (sans quoi les profils seraient confondus avec les cercles primitifs mêmes, et Ton retomberait sur l'engrenage à friction).

Mais on peut, dans le cas des axes parallèles, réaliser des engrenages à contact ponctuel, tels que le point de contact des surfaces conjuguées, qui ne seront plus des cylindres, se trouve constamment sur la génératrice de contact des cylindres primitifs. Le point de contact des deux surfaces se trouve alors toujours avoir même vitesse sur chacune d'elles, et l'on obtient ainsi un véritable roulement des deux surfaces (ce qui ne supprime cependant pas les frottements dé toute nature, comme nous le verrons plus loin).

Un engrenage de cette sorte est V engrenage hélicoïdal ou de White. On l'obtient par les considérations suivantes:

X et X' étant toujours les axes de rotation (fig. 36), soit G la génératrice de contact des cylindres primitifs. Gr est parallèle à X et à X', dans le plan de ces axes, et les rayons R et R' des deux cylindres primitifs satisfont à la condition

wM ICDI

Traçons dans le plan des axes deux courbes quel- ♦nques C et C, tangentes entre elles et dont le point B contact M appartienne à G, et considérons les deux

hélicoïdes X et 5C', engendrés respectivement par C et C, dans des mouvements hélîooïdanx dont les axes sont X et X' et dont les pas H et H' satisfont à la condition

ou

Fig. 36.

Ajoutons enfin que ces mouvements hélicoïdaux sont l'un dexirorsum et l'autre sinistrorsum, dans le cas d'un

engrenage extérieur, qui est celui de la figure.

5C et 3t' sont tangents en M. En effet le plan tangent en ce point à la première de ces surfaces est déterminé par la tangente à C et par la tangente à l'hélice qui passe en M. Cette dernière tangente fait avec le plan perpendiculaire aux axes un angle cp tel que

De même le plan tangent à OfC' est déterminé par la tangente à C et une autre droite, faisant avec le plan perpendiculaire aux axes un angle cp' tel que

Donc, en vertu de (3), cp = <p'. On voit aussi, d'après l'hypothèse faite sur les sens des deux mouvements hélicoïdaux introduits, que les tangentes aux deux hélices sont inclinées du même côté du plan des axes. Ces deux tangentes, qui appartiennent toutes deux

ENOBEKAGE H]6lIC0ÏDAL lll

au plan tangent commun aux cylindres primitifs» sont donc confondues.

Il en est de même des tangentes à C et à C. X et 3C' ont donc bien même plan tangent en M.

Entraînons maintenant rH3 et 5C' dans les rotations des cylindres primitifs autour de leurs axes. Il est clair que la courbe C, qui est la trace de X sur le plan des axes, aura un mouvement de translation, parallèle

à ceux-ci et de vitesse V = ——^ De même C aura un mouvement de translation de même direction et de vitesse Y' = -J— ^- Et il résulte des égaUtés (3)

que V = Y'.

En résumé les hélicoïdes JC et 3C' resteront tangents, leur point de contact se mouvant le long de G. Ces deux hélicoïdes sont donc bien propres à constituer un couple de surfaces conjuguées satisfaisant aux conditions requises.

Considérons, à un instant quelconque, le mouvement relatif de 3C par rapport à X'. C*est une rotation dont Taxe est G. Cette rotation peut être considérée comme résultant de deux autres, Time, dont Taxe est la normale commune aux deux hélicoïdes, l'autre, dont l'axe est la projection de G sur le plan tangent commun aux deux surfaces. Cette dernière rotation produit un roulement des deux surfaces l'ime sur 1* autre. Mais il n'en est pas de même de la première, qui donne lieu à un frottement particulier dit frottement de pivotement. Ce frottement tend à produire une usure considérable des surfaces en contact, qui ne se touchant qu'en un point, exercent l'une sur l'autre une pression considérable (un contact rigoureusement ponctuel de deux surfaces donnerait même lieu à une pression infinie. Pratiquement, il se produit une légère déformation qui met en

0INÉMATIQX7B

contact deux petites aires, et ramène la pression à une valeur finie). /

Il résulte do là que l'engrenage hélicoïdal convient surtout pour la transmission de faibles efforts.