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avec le signe + si les contacts extérieurs sont en nombre pair, et avec le signe — dans le cas contraire. Il est aisé de retenir la forme du second membre de la formule (6). C'est une fraction dont le numérateur est égal au produit des nombres de d^nts des roues mencmtes (1), (2), ..., et le dénominateur égal au produit du nombre ' ) dents des roues menées (2'), (3') Cette fraction,

feotée de son signe, est dite la raison du train d'engre-

kges.

La formule (6) est encore applicable aux trains d'en-

:enages où interviennent des roues d'angle, sauf en

ce qui concerne le signe. Par exemple, dans le train représenté par la figure 40, les roues extrêmes tournent

en sens contraires, bien que 1^ nombre des contacts extérieurs soit pair.

49. Trains épicycloîdaux. — Si Ton examine la formule (6), on voit que le numérateur et le dé-* nominateur du second membre ont des facteurs premiers qui ne peuvent dépasser la limite supérieure assignée aux nombres des dents des roues, soit 120 environ, comme il a été di^. On ne pourra donc réaliser par un simple train d'engrenages, quelle qu'en soit la complication, un rapport de Vitesses exprimé par une fraction irréductible dont le numérateur ou le dénominateur contiendraient des facteurs premiers considérables.

Il est cependant possible d'appliquer les engrenages à la réalisation de tels rapports, par le moyen d'un train épicycloïdàl.

Un train épicycloïdàl n'est autre chose qu'un train d'engrenages dont les axes, au lieu d'être fixes, sont

Fig. 40.

portés par ime pièce C, dite châssis, mobile elle-même autour d'un axe I (fig. 41). Les rotations des roues et celle du châssis peuvent avoir

des vitesses angulaires indépendantes. Désignons par u celle du châssis, par oj et w' les vitesses angulaires

Pig. 41.

TRAINS d'engrenages

absolues des roues extrêmes du train. Il existe évidemment une relation entre it, w et w', et on l'obtient immédiatement. Désignons en effet par p la raison du train (avec son signe). Eelativement au -cliâssis, le train se comporte comme un train ordinaire. Or, les vitesses angulaires relatives des roues extrêmes par rapport au châssis sont évidemment to — u et w' — u. On a donc

Cette formule, connue sous le nom de formule de WiUis, permet de traiter toutes les questions relatives aux trains épicycloïdaux. Donnons deux exemples

1<* Horloge lunaire. — Le train suivant a été appliqué à une horloge donnant à la fois le jour de la semaine et rage de la lune. Le rapport des vitesses à réaliser est

très approximativement-—--- Comme le numérateur do ^^ 3485

cette fraction est un nombre premier, l'obtention du rapport dont il s'agit par le moyen d'un train ordinaiie exigerait l'emploi d'une roue de

1439 dents, ce ^ \ 2^

qui est pratique- i

ment presque impossible. ^ i

Une roue C C

tourne avec une |

vitesse u autour c l'axe X (fig.

. Sur ce même Fig. 42 .

ô, est montée

6 roue 1 absolument fixe. Deux roues 2 et 2', soli-

ires l'une de l'autre, sont montées sur l'axe Y,

entraîné par la roue C, mais pouvant tourner librement par rapport à cette roue. La roue 2' engrène avec la roue 1 et la roue 2 avec une roue 3' pouvant tourner librement autour de X.

On a ainsi un train épicycloïdal dans lequel la roue C joue le rôle de châssis. Les roues extrêmes du train sont la roue 1, dont la vitesse angulaire (o = 0, et la roue 3', de vitesse angulaire w'. D'après la formule de Willis, on a

p étant la raison du train. En adoptant les notations du n» 48, on a :

ni Ui

avec le signe + devant le second membre, puisque les contacts extérieurs sont en nombre pa,ir. On a donc

d'où

712' fit'

Si l'on veut que — soit égal à "'^ * on pourra d'abord

faire

à quoi l'on satisfait par Wg' = 85, ti,/ = 41. On devra ensuite avoir

3485 — Wi?i-2 = 1439, d'où

Wi n^ = 3485 — 1439 = 2046,

à quoi l'on satisfait par n^ — 02, 7^2 = 33.