COURBES ROULANTES
leurs génératrices parallèles à X et X', mais n'étant plus de révolution.
On peut évidemment se borner à considérer les sections des cylindres par un plan perpendiculaire à la direction commune de leurs génératrices. On obtient ainsi un système de
deux courbes C et C ^""""^^^ ^'
(iig. 44), tournant res- /"L-^^'i
pectivement autour de deux points fixes et 0', et cela de telle sorte qu'elles roulent l'une sur l'autre.
On dit que C et C sont des courbes rou' Fig. 44,
lantes.
On peut se proposer divers problèmes au sujet des courbes roulantes. Nous examinerons les suivants :
1° L'une des courbes étant donnée, C par exemple, trouver l'autre C ;
2° Déterminer un système de courbes roulantes, de manière à réaliser une relation donnée entre les vitesses angulaires <o et w', ou ce qui revient au même, entre los angles de rotation de ces deux courbes, à partir de positions fixes. •
l^ Etant donnée C, trouver C. -^ Remarquons d'abord qu'à un moment quelconque le point de contact I des deux courbes est sur la droite 00'. En effet, le mouvement relatif de C par ra/pport à C est un roulement, pour lequel I est c.i.r. La normale à la trajectoire du P ^t 0' doit donc passer par le point I. Mais cette * ectoire est im cercle de centre 0, puisque la long ur 00' est constante. Le point I est donc bien s 00'.
128 CINÉMATIQUB
Soient alors I^ un point quelconque de Ci et Ii' le point de C qui, au cours du roulement viendra coïncider avec I. Les arcs IIi et IIi' sont égaux. Soit s leur longueur commune. Supposons la courbe C donnée par son équation en coordonnées polaires.
01 étant pris pour axe polaire et O pour origine. Nous chercherons à déterminer T équation de C en coordonnées polaires également, en prenant pour axe polaire O'I et pour origine O'. Soient (p', 6') les coordonnées polaires du point I', dans ce nouveau système. Posons enfin O'O = a.
Puisque les points I^ et l'i sont appelés à coïncider avec un même point de 01, on a
En outre, quand cette coïncidence aura lieu, les deux courbes seront tangentes. Les angles que les tangentes en II et I\ font avec les rayons vecteurs OIi et O'I', sont donc égaux, ce qui donne, en appliquant une formule connue
p'dfi' pdf) do' dp
Mais on tire de (8)
(9) dp' = dp.
La relation précédemment écrite se réduit donc à
(10) - c'dO' = pd8.
Ces conditions sont suffisantes. On tire en effet de (9) et (10)
dy« + o'a^O' = do* + z^d^\
ou ' ^ ' '
ds'^ = ds^ , ds' = ± ds.
fr^
COUBBES BOULANTES 129
en appliquant la formule qui donne la différentielle de Tare en coordonnées polaires. En choisissant convenablement les sens de circulation sur les courbes, on peut écrire ds' = ds, et en intégrant,
Bans ajouter de constante au second membre, si Ton compte les arcs à partir du point I sur les deux courbes. Cette dernière relation montre que C et C roulent bien Tune sur l'autre.
On tire de (10)
pd6 ^ pde
p' p + a d'où, en intégrant.
La relation (8) et la relation (11) font connaître p' et 6' en fonction de p et de 6, c'est-à-dire de 6. En éliminant entre les deux expressions obtenues, on aura l'équation de C.
En résumé, si l'on se donne la courbe C, la recherche de C nécessite une quadrature.
20 Eecherche d^une relation donnée entre les angles de rotation, — Les angles dont les deux courbes ont tourné, à un certain instant, respectivement autour des points et 0', sont Ô et 6'. Proposons-nous de déterminer les deux courbes de telle manière que l'on ait la relation
/ étant une fonction donnée.
BsiGABD. — Cinématique.
OINBMATIQUA
On tire de (10)
ou, en tenant compte de (8),
et enfin (13) p
La première des équations (13) est Féquation en coordonnées polaires de C ; la seconde est celle de C» si Ton y remplace 6 par sa valeur en fonction de 6', valeur qu'on obtient en résolvant (12) par rapport à 0.
On voit que le second problème se résout sans quadrature.
Une fois obtenu un couple de courbes roulantes, on pourra, si Ton craint que leur adhérence ne suffise pas à assurer un fonctionnement correct du mécanisme, les armer de dents, qu'on déterminera par Tapplication de Tun des procédés indiqués au n» 40. Ces procédés sont en effet évidemment encore valables, quand on remplace les cercles primitifs des engrenages cyUndriques par des courbes quelconques.
51. Exemples de courbes roulantes. — 1<> Eh Upses roulantes. — On obtient im système remarquable de courbes roulantes par les considérations géométriques qne
Fig. 45.
