A. DÉPLACEMENTS DANS LE PLAN
2. Figure plane de grandeur invariable. — Les lois du déplacement sont particulièrement simples quand le corps solide déplacé se réduit à un ensemble de points faisant partie d'un même plan {figure plane de grandeur invariable) et qu'en outre, cet ensemble de points est assujetti à rester dans un plan fixe. Il est avantageux de considérer comme faisant partie de la figure tous les points de son plan, et de les lui lier. On parvient ainsi à la notion d'i^n plan mobile glissant sur un plan fixe.
Pour fixer un plan H glissant sur un plan fixe Ifo, il faut d'abord amener un de ses points M en coïncidence avec un point Mq, donné dans le plan II q. Cela étant fait, le plan II peut encore tourner autour du point Mq. Pour achever de le fixer, il faut faire en sorte qu'une certaine demi- droite issue de M et liée à II coïncide avec une certaine demi- droite donnée, issue de Mo dans Uq.
Analytiquement, on peut considérer dans le plan II deux axes rectangulaires Ox, Oy, liés à ce plan. Pour fixer n, il suffit évidemment de définir la position de ce système d'axes par rapport à deux axes fixes OoOJo, Oo2/o- Pour cela, il faut connaître les deux coordonnées
du point O et l'angle Oo^o»^-^» soit trois paramètres
en tout. Ainsi, la position d'un plan mobile glissant sur un plan fixe dépend de trois paramètres. On dit aussi que le plan mobile peut prendre oo' positions.
Un déplacement peut être considéré comme une transformation ponctuelle, faisant passer d*une figure à une figure directement égale, c'est-à-dire superposable à la première par un mouvement qui n'exige pas qu'on fasse sortir la figure de son plan. Mais on sait qu'il existe aussi dans le plan des figures inversement égales, qui ne peuvent être superposées que par un mouvement fait en dehors du plan : telles sont une figure et son empreinte laissée sur un papier buvard. On appelle retournement l'opération qui fait passer d'une figure à une figure inversement égale. Bien que l'étude des retournements n'appartienne pas à la Cinématique proprement dite, il y a lieu de les considérer à cause des commodités qu'ils donnent dans l'étude des déplacements.
3. Translation, rotation, symétrie. — Parmi les déplacements et les retournements, il en est de particulièrement simples qui jouent un rôle fondamental. Ce sont la translation, la rotation et la symétrie, dont les propriétés sont bien connues par la Géométrie élémentaire, et d'ailleurs intuitives.
1° Translation. — C'est un déplacement dans lequel une droite orientée du plan mobile conserve sa direction et son sens. Il en est alors de même de toutes les droites orientées du plan mobile. Tous les vecteurs ayant pour origines les positions initiales et pour extrémités les positions finales des points du plan mobile sont équipoUents entre eux.
Pour définir une translation, il suffit de se donner
un vecteur libre V; M^ étant la position initiale d'un point du plan, on obtiendra sa position finale M 2 en
oonBtruiaant le vecteur MiM, équipollent à V. On peut
représenter une telle translation par le aymbote T(V).
2" Botation. — C'est un déplacement dans lequel un point du plan mobile occupe une position fixe O (centre de la rotation). Si Mi et Mj sont les positions initiale et
finale d'un pomt, on a OMi = OMs, et l'angle M.OMj a une valeur indépendante du point considéré (angle de la Totaiion).
Pour définir une rotation, il suffit de se donner le contre et l'angle 9 de la rotation, ce dernier à 2-k près, car une rotation de 2ti laisse évidemment une figure immobile. On représentera une telle rotation par le symbole R(0,8).
3" Symétrie. — C'est un retournement tel que les positions initiale et finale d'un point quelconque du plan mobile soient symétriques par rapport à une certaine droite D (aa>e de êymélrie). La connaissance de D suffit à définir une symétrie, qu'on représentera par le symbole S(D).
4. Composition des déplacements et des retournements. Généralités. — La translation, la rotation et la symétrie donnent trois exemples de déplacements et de retournements définis au moyen d'éléments fixes, c'est-à-dire indépendamment de la position initiale du plan viobile. Nous désignerons par les symboles D et p, affectés d'indices, des déplacements et des retournomeuts dont les définitions satisfont à cette condition CI-
|1) On peut considérer des déplacementa et des retournementa dimt la. définition, dépend de ta position initiale : par exemple, une rotation du plan mobile autour de la, position actuelle d'un de ses points. Pour de telles lois de déplacement, ce qui suit n'aurait pas de sens.
Considérons le plan mobile dans une position initiale IIi et appliquons -lui le déplacement Di. Il prend alors une position Ha. Appliquons à celle-ci le déplacement Do. Le plan prend. la position Ils. On aurait pu passer directement de lli à Ha par un certain déplacement D. On dit que D résulte de la composition des déplacements D^ et D, ou, plus brièvement, qu'il est le produit de ces déplacements, et l'on écrit symboliquement
D = DiDg.
Il est à remarquer que le produit DiDg est en généra distinct du produit DgDi (comme on le verra, par exemple, plus loin, pour le produit de deux rotations). On exprime c^ fait en disant que la multiplication des déplacements n^est pas en général une opération commutative{^).
Le produit DiDgDg de trois déplacements est le produit par Da du déplacement DiDg. Cette définition s'étend immédiatement au produit d'un nombre quelconque de déplacements. On peut aussi composer (ou multiplier) les retournements entre eux, les déplacements et les retournements. On considérera par exemple un produit tel que DipipaDaDa-
Si les multiplications de ce genre ne sont pas commu tatives, en revanche elles sont associatives. On entend par là que, dans un produit de déplacements et do retournements, on peut remplacer plusieurs facteurs consécutifs par leur produit effectué, sans changer le résultat.
Considérons en effet le produit DiDgDj, par exemple. appliquons à une position initiale lli le déplacement
(1) Cela peut arriver exceptionnellement, et on en verra Texeinple. Quand la multiplication de deux opérations est commutative, on dit que ces opérations sont permutables.
btient une position llj; à celle-ci appliquonsle lent Dj, on obtient nne poeition. Ili; à celle-oi us le déplacement J),. on obtient nne poai- En définitive, le produit DiD,D, a fait passer J,. Mais on aurait obtenu le même résultat en de 11, à n, par Di, et directement de ïlj à n< réduit DsD,. On peut donc écrire
D,D,D, = D, (DsDj), établit, sur Texempie considéré, l'assertion
simplifier l'écriture, on emploie la notation osants, quand plusieurs facteurs consécutifs duit sont égaux. On écrira par exemple D,D,D, = D/.
.t arriver qu'un produit de déplacements ou rnements ramène le plan mobile fl sa poeition c'est le cas par exemple d'un produit de rotamême centre et dont les angles ont pour somme n tel produit de facteurs intervient dans un plus étendu, on peut évidemment le supprimer, est d'effet nul, de même que dans un produit ique, on supprime dos facteurs dont le proégat à l'unité. Cela conduit à représenter par >le 1 l'opération d'ejjel n-ul qui consiste à ne pas une figure.
cemple, il est clair que si l'on opère deux fois une symétrie S par rapport à la même droite, me le plan mobile à sa position initiale. On
rquons enfin, pour terminer ces généralités, roduit de déplacements et de retonrnementa
est un déplacement, si les retournements figurent en nombre pair dans le produit, et un retournement, dans le cas contraire. En effet, un retournement fait passer d*une figure à une figure inversement égale, donc deux retournements ramènent à une figure directement égale à la figure initiale, etc.
5. Composition des translations, des rotations et des symétries. — l^ Composition de deux translations. —
Soient les deux translations T(Vi) et
T (Va), représentées respectivement par
Fig. ].
les vecteurs V^ et Vg (fig. 1 ), qui ont été portés à la suite Tune de l'autre.
Il est évident que le produit de ces deux translations est la translation re-
présentée par le vecteur Vi + V2. On peut donc écrire /
T(Vx) T(V,) = T(V^ + vl).
L'addition des vecteurs est une opération commutative, c'est-à-dire que l'on a.
Vi H- V, = Va + V,.
On a donc aussi
Ainsi la multiplication des translations est commutative.
2° Oom/position de deux symétries. — Soient les deux symétries S(Di) et S (Dg), ayant pour axes respectifs les droites D^ et Dg (fig. 2).
Ot
Soient M^ un point quelconque, Mjj son symétrique
par rapport à Di, M, le symétrique de Mg par rapport à Dj. Le produit a(Di)S(Da) amène Mi en Ms- Deux cas sont alors à distinguer :
a) Les droites D, et D< ne sont pas parallèles, — Soit O leur point de rencontre (fig. 2). On a les égalités
OMb = OM2 = OMi
M1OM2 = 2D1OM2 , MgOMs = 2M2OD2, d'où
MiOMs = 2D1OD2.
De là résulte que V opération S(DJ S(D2) est d* effet identique à celui de la rotation de centre et d* angle
2DiOD,. On écrira
S(Di)S(D2) = R (0, 2D1OD2).
Eéciproquement, ime rotation R(0,a) peut être, d*ime infinité de manières, considérée comme étant le produit de deux symétries dont les axes passent par
le point et font entre eux T angle - •
On peut prendre pour l'un de ces axes ime droite quelconque passant par le point 0.
Le produit S(Da)S(Di) est identique à la rotation
R(0, 2D2OD1), de même centre et de même angle que la précédente, mais de sens opposé. Ainsi la multiplication des symétries n'est pas commutative, en général. Cependant, si les axes de deux symétries sont rectan-
DÉrLACEMENTS 9
gulaires, les produits sont deux rotations de même centre et d'angles égaux respectivement à + tt et à — tt, rotations d'effet identique, comme on le voit immédiatement. Donc, la multiplication de deux symétries dont les axes sont recta/ngulaires est commutative,
h) Les droites D^ et D^ sont parallèles (fig. 3). — On reconnaît immédiatement que, , dans ce cas, le produit S(Di) * 3 S(Dj) est Mne tra/nslation dont i n
le vecteur est le double d'une I
perpendiculaire commune à î__2 q
Di et D2 (le sens étant celui ;i^
de Di vers D2). Réciproque- !
ment, une translation peut être pig. 3.
considérée, d'une infinité de
manières, comme étant le produit de deux symétries
dont les axes sont parallèles.
30 Composition de deux rotations. — Il est d'abord évident que le produit de deux rotations de même centre R(0,a) et R(0,p) est la rotation R(0,a + p).
Ce cas écarté, considérons deux rotations de centres différents R(Oi,ai) et R(02,a2) Fig. 4.
(fig. 4).
Menons la droite O1O2 ou D2, puis par Oi une droite Dj et par 0, une droite D,, telles que l'on ait
I>iOiD2 = j . D2O2D3 = Y •
On a, en tenant compte du résultat obtenu au 2°, a, régaUté
B(Ôi,ai)R(02,a2) = S(Di)S(D2)S(D2)S(D3) - S(DJS(D8),
tlINÉMATIQUE
car le produit S(D2)S(D2) = S»(D2) est égal à 1 (n^ 4). Deux cas sont alors à distinguer :
a) Les angles a^ et as ne sont pas éga/ux en valeur absolue et de signes contraires. — Alors les droites Di et D, ne sont pas parallèles et se rencontrent en un point 0. On a alors (2o,a)
S(Di)S(D3) = R (0, 2DiOD,).
Donc le produit de deux rotaiions est en général une rotation,
h) Les angles a^ et ol^ sonl égaux en valeur absolue et de signes contraires. — On dit alors qu'on a affaire à un couple de rotaiions. Les droites D^ et Ds sont parallèles, et le produit S(Di)S(D,) est une translation {2°,b). Ainsi un couple de rotaiions est équivalent à une translation.
4® Composition d'une tram,slation et d'une rotation. — Soient la translation T(V) et la rotation R(0,a) (fig. 5).
Fig. 5.
La translation T(V) peut être remplacée par le produit de deux symétries S(Di), S(D,), la droite Dg étant choisie de manière à passer par le point 0. La rotation R(0,a) peut être remplacée par le produit S(D2)S(D8), Da passant
par et Pangle DgODg
étant égal à ~- L'angle a étant différent de zéro, D»
rencontre Di en un point 0'. On a la suite d'égalités
T(V)R(0,a) = S(D,)S(D,)S(D,)S(D,) = S(D,)S(Da) =
Ainsi, le produit d'une translation par une rotation est une rotation dont Va/ngle est égal à celui de la première. On verrait qu'il en est de même du produit d'une rotation par une translation.
6. Forme canonique d'un déplacement. — Considérons un déplacement amenant le plan mobile d'une position IIi à la position II 2 et soient M^ et Mg les deux positions correspondantes d'un même point. Pour amener le plan de la position [T, à la position Flg, on peut
d'abord le soumettre à la translation T(MiM2) qui amène M^ en Mg. Le plan mobile occupe alors une position rii'. Si IIi' coïncide avec Hg, c'est que le dépla-
cément considéré n'est autre que la translation T(MiM2). Dans le cas contraire, une certaine rotation R(M2,a) amènera IIi' à coïncider avec II2. Le déplacement considéré est donc équivalent au produit d'une translation par une rotation, c'est-à-dire à une rotation {n9 5, 40). On peut donc énoncer le théorème fondamental suivant :
Tout dépla>cement, dans le plan, peut être obtenu par une rotation ou par une translation.
Le cas général est celui de la rotation.
La réduction d'un déplacement à une translation ou à une rotation ne peut être faite que d'une seule manière (ce qui ne résulte pas de la démonstration donnée, où intervient un point arbitraire du plan mobile). On reconnaît en effet immédiatement que deux translations ou deux rotations ne peuvent être équivalentes que si elles sont identiques.
CniÉUATIQUE
canonique d'un retournement. — Soient II positions telles que l'on passe de'l'uno un retournement p. M, et Mj les pofiitiomj coTTespondautes d'un même point {ïig. 6).
Soit Di la perpendiculaire élevée àJtiM, en son milieu. Appliquons à n, la symétrie S(Di). Nous obtenons une position n,', directement égale àlli, et qui peut être amenée en coïncidence avec cette dernière d'angle nul ou non.
ton peut être remplacée par le produit de .ries S(Di)S{D,), Dj étant prise perpendiou- On a
lit des deux premiers facteurs peut être
ar le produit S(D,')S(D,'), l'angle I>,',D/
, de même sommet que l'angle Di,Dj, et oit perpendiculaire à D,. On a ainsi
p = S(D,')S(Dj')8{D3).
multiplication de deux symétries dont les jctangulaires est oommutative (n" 5, 2°, a).
Fig. 6.
tation de centre M;
, sont parallèles. Le produit S(D,')S(D,)
est donc une translation T, perpendiculaire aux axes Di', Da et par conséquent parallèle à Dg'. On a finalement
Ainsi, tout retournement peut être obtenu par une symétrie, suivie d'une tra/nslcdion pa/rallèle à Vaxe de cette symétrie (cette translation peut exceptionnellement être nulle).
On reconnaît aisément que cette symétrie et cette translation sont permutables.
Il est encore facile de conclure du théorème relatif à la forme canonique d'un retournement la proposition suivante : Quand deux figures d'un même plan sont inversement égales, les segments ayant pour extrémités deux points correspondants des deux figures ont tous leurs milieux sur une même droite,
B. DÉPLACEMENTS DANS L'BSPACE.
8. Généralités. — Comme pour l'étude des déplacements dans le plan, il est avantageux de considérer comme faisant partie d'un corps solide tous les points de Tespace, liés à ce corps. On parvient ainsi à la notion d'un espace mobile en lui-même. Nous conserverons cependant l'expression de corps solide ou, plus simplement, de corps.
Pour fixer un corps, il suffit de fixer trois axes Ox, Oy, Oe formant un trièdre trirectangle et liés à ce corps. Pour cela, il faut se donner les trois coordonnées du point par rapport à des axes fixes OoOJo, Ont/o» Oq^o ^t les directions des axes Ox, Oy, Oz. On sait, par la géométrie analytique, que ces directions dépendent do trois paramètres (qui seront, par exemple, ce qu'on appelle les amgles d'Euler). En tout, la position d'un corps dépend de six paramètres.
i des déplacements, qui font passer d'une figure ^uTe direetemefit égale, il y a lieu, comme dans de considérer las retournements, qui font passer j;ure à une figure inveraement égale, comme le corps quelconque et son image dans un miroir, îbserver que deux figurée planée invereement iuvent être superposées, à la condition de faire no des figures de son plan pour l'y faire rentrer, ut dit qu'un retournement plan peut être }ar un mouvement dans l'espace. Au contraire, irnement dans l'espace ne pent être obtenu an mouvement réalisable (il faut invoquer un symbolique par l'espace à quatre dimensions). ione par un abus de langage que noue parlerons positions d'un corps, quand il faut un retour, pour passer de l'une à l'autre.
jislatlon, rotation, renversement, déplacement d, inversion plane. — Ce sont les opérations (déplacements, à l'exception de la cinquième, in retournement), qui jouent un rôle fondanaen- I la théorie des déplacements dans l' espace :
anslation. — C'est un déplacement dans lequel ts droites orientées du corps mobile conservent eotions et leurs sens. Tous les vecteurs ayant gines les positions initiales des points et pour ,é& leurs positions finales sont équipoUents à
le vecteur V, qui suffit à définir une translalUB repréeenterons encore cette translation par
'talion.. — C'est un déplacement dans lequel points d'une certaine droite (axe de rotation) fixes. Le dièdre ayant pour arête l'axe de
rotation, et dont les faces passent respectivement par les positions initiale et finale d'un point du corps, .a une valeur a qui est la même, quel que soit le point considéré (cmgle de rotaiian). Nous représenterons une rotation d'axe X et d'angle a par^la notation K(X,a). Pour qu'une rotation soit définie sans ambiguïté par son angle et par son axe, il convient que ce dernier soit orienté {Voir la Note I).
30 Benversement, — C'est une rotation dont l'angle est égal à tt. Il est clair que les positions initiale et finale d'un point sont symétriques par rapport à l'axe, en sorte qu'un renversement n'est autre chose qu'une symétrie par rapport à une droite : une telle symétrie, qui, dans le plan, est un retournement, est donc, dans l'espace, un déplacement.
Nous représenterons un renversement d'axe X, comme il est naturel, par la notation R(X,7c).
Il est à remarquer qu'un renversement, effectué deux fois de suite par rapport à la même droite, ramène une figure à sa position initiale. Autrement dit le carré d'un renversement est égal à V unité.
Il n'est pas nécessaire d'orienter Taxe d'un renversement pour le définir sans ambiguïté. Cela revient à dire qu'une rotation d'angle + tu et une rotation d'angle — ic sont équivalentes, ce qui est évident.
40 Déplacement hélicoïdal. — C'est un déplacement dans lequel une droite du corps mobile reste en coïncidence avec elle-même, sans qu'il en soit de même, en général, pour les points de cette droite (axe du déplacement hélicoïdal). On appelle aussi un tel déplacement déplacement de verrou. L'expression de déplacement hélicoïdal provient de ce qu'un déplacement de cette sorte peut être obtenu par un mouvement, dit lui-
même hélicoïdal, dans lequel tous les points du corps mobile décrivent des héUoes.
Il est clair qu'un déplacement hélicoïdal peut être obtenu par une certaine translation parallèle à l'axe, suivie d'une rotation autour de cet axe (on peut intervertir les deux opérations). Si l est la grandeur du vecteur de la translation, a l'angle de la rotation d'un déplacement hélicoïdal d'axe X, nous représenterons ce déplacement par la notation H (X, l, a). Pour qu'il soit défini sans ambiguïté, il convient que l'axe X soit orienté. Le déplacement hélicoïdal comprend comme cas particuliers la translation (a = 0) et la rotation (l = 0).
5^ Inversion flcme. — C'est un retournement, dans lequel les positions initiale et finale sont symétriques par rapport à un plan P, qui suffit à définir une inversion plane. Nous représenterons celle-ci par la notation I(P)., Le plan P sera dit plan fondamental de l'inversion plane. Il est clair que le carré d'une inversion plane est égal à l'unité.
10. Composition des déplacements et des retournements. — Les définitions données au n® 4 restent applicables sans modifications à la composition des déplacements et des retournements dans l'espace.
Nous allons passer en revue un certain nombre d^ coippositions particulièrement importantes :
1° Composition de deux translations. — Le résultat obtenu au n» 5, V\ reste valable : le produit de deux translationsiip définies respectivement par les vecteurs
Vi et Vg, est la translation définie par le vecteur
wr^'
2® Composition de deux inversions pleines. — Soient les' deux inversions planes I(Pi) et I(Pa). Le raisonnement est identique à celui du n® 6, 2°, concernant la composition des symétries dans le plan. Deux cas sont à distinguer :
a) Les phms P^ et Pj ne sont pas parallèles. — Soit X leur droite commune.* Le produit des deux inversions planes considérées est une rotation d'axe X et dont l'angle est le double de celui du dièdre formé par les plans Pi et Pg. On écrira
I(PJI(P,)= R(X,2PiXP,) (M.
Réciproquement» une rotation peut être considérée, d'une infinité de manières, comme étant le produit de deux inversions planes, dont les plans fondamentaux passent par Taxe de la rotation. On peut prendre pour l'un de ces plans fondamentaux un plan quelconque passant par l'axe.
En particulier, un renversement est le produit de deux inversions planes dont les plans fondamentaux sont rectangulaires. Ces deux inversions planes sont évidemment permutables.
h) Les plam,s Pj et Pg sont parallèles. — Alors le produit I(Pi)I(P2) est la translation dont le vecteur est le double d'une perpendiculaire commune aux plans Pi et Pj, orientée de Pi vers Pa- Réciproquement, une translation est, d'une infinité de manières, le produit de deux inversions planes dont les plans fondamentaux sont parallèles.
(1) Bien que Taxe X ne soit pas orienté, la rotation
B(X,2PiXP2) est déânie sans ambiguïté. En effet, l'angle
PjXPa étant évidemment défini à tt près, l'angle 2P1XP2 l'eât à 2'it près.
Bbicabd. — Cinématique. . 2
Z^ Gomposition de deux rotations dont les axes sont dans un même pîam. Soient B (Xi, oii) et B (Xt, a,) deux telles rotations.
Désignons par Pj le plan (Xi,Xs), par P^ un plan
mené par Xi tel que PiXiPg = j;^u par P3 un plan mené par X2 tel que P^X^P, = -z a^. On a
R(Xi,a,)R(X.,aJ = I(P,)I(P,)I(P,)I(P,) = I(Pj)I(P3).-
Cela posé :
a) Si Xi et X^ ne sont pas parallèles (fig. 7), les plans Pi et Ps se coupent suivant une droite X passant par le poini commun à Xi et X,, et l'on a
I(PJI(Pa) = B(X,2P,XP8),
d'où
R(Xi,aJR(X2,a2) = R(X,2PiXPs).
Fig. 7.
Ainsi, I0 produit de deux rotations à axes concourants est une rotation dont Vaxe concourt avec les deux premiers,
b) Si Xx et X2 sont parallèles, les plans Pi et Pj peuvent ne pas être parallèles et ils se coupent alors suivant une droite X parallèle à Xi et Xg. On a encore
R(Xi,ai)R(X2,a,) = R(X,2PiXP8).
c) Si enfin X^ et Xg étant parallèles, les plans Pj et Pa le sont aussi, le produit R(Xi,ai)R(Xt,a2) est une translation.
PÉPLAOEMBNTS
En définitive, le produit de deux rotations à axes concourants ou parallèles est une rotation, exceptionnellement une translation.
4^ Composition d'une rotation et d'une translation parallèle à Vaxe de cette rotation, — Soient la rotation
R(X,a) et la translation T(V), le vecteur V étant parallèle à X et ayant la longueur L
Il est évident, d'après la définition même d'un déplacement, hélicoïdal, que le produit R(X,a) T(V) est égal à H(X,Z,a). Il en est de même du produit T(V)R(X,a) ;
50 Composition de deux renversements. — Soient les renversements R(Xi,7r) et R(X2,w). Nous distinguerons ' deux cas :
a) Xi et Xj sont parallèles. — Les renversements sont des rotations particulières, et Ton se trouve ici dans le cas examiné au 3°, c. En effet, en reprenant les notations adoptées, les plans Pi et P3 sont deux plans menés , perpendiculairement au 'plan Pg, par deux droites parallèles. Ils sont donc parallèles. Par conséquent, le produit de deux renversements dont les axes sont parallèles est une tra/nslaiion.
h) Xi et X2 ne sont pas
parallèles (ils peuvent con-
îourir ou non). — Soient
X leur perpendiculaire
ommune (fig. 8), ï la longueur de cette perpendiculaire jommune A^At (Z peut être nul), Qi le plan (Xi,X), ^2 le plan (X^jX), Pi et Pg les plansjmenés perpen-
Flg. 8.
■ir"
diculaîrement à X, respectivement par X^ et Xj. On a (2o,a)
R(Xi,7r) = I(PJI(QJ , R(X„7r) = I(Qa)I(P2),
d'où
les interversions de facteurs introduites étant justifiées par le fait que le plan Pg est perpendiculaire à Qg et à Qi, et que deux inversions planes dont les plans sont rectangulaires sont permutables (2o,a).
Le produit I(Pi)I(P2) est la translation T(2AiA2) ;
le produit I(Qi)I(Q2) est la rotation R(X,2QiXQ2). Donc finalement
R(Xi,7:)R(X2,7r) = T(2AiA2)R(X, 2QiXQJ
= H(X,2Z,2QiXQ2),
la dernière égalité résultant du AP,
Ainsi, le produit de deux renversements est un déplacement hélicoïdal, ayant pour axe la perpendiculaire commune aux axes des renversements ; la longueur de la translation de ce déplacement est le double de la dista/nce de ces deux derniers axes ; V angle de sa rotation est le double de leur angle.
Réciproquement, un déplacement hélicoïdal est, d'une infinité de manières, le produit de deux renversements dont les axes rencontrent tous deux à angle droit l'axe du déplacement considéré. L'un de ces axes peut être choisi arbitrairement, à cette oonditon près.
Si les axes de deux renversements se rencontrent, la longueur l de leur perpendiculaire commune est
DÉPLACBMlfiNTS
Fig. 9.
nulle, et le déplacement hélicoïdal qui est leur produit se réduit à une rotaiion. Réciproquement, toute rotation est, d'une infinité de manières, le produit de deux renversements.
6^ Gom^osition de deux déplœements hélicoïdaux (un de ces déplacements, ou tous les deux; pouvant se réduire, soit à une translation, soit à une rotation). Soient les deux déplacements H ( Xj ,Zi , aj ) et H(X„Z2,a2) (fig. 9).
Construisons la perpendicu laire commune Yg à X, et Xj (ou l'une des perpendiculaires communes, si X^ et Xa *sont parallèles). On peut, d'après
le 5°, mener à Xi une perpendiculaire Y^ telle que l'on ait
H(X„Z„oti) = R(Y„7r)R(Y2,7r),
et mener à Xt une perpendiculaire Yg telle que l'on ait H(X2,Z„a,) = R(Y„7u)R(Y8,7r).
Soit enfin X la perpendiculaire commune à Yi,Y3 (ou l'une de leurs perpendiculaires communes, si Y^ et Y, sont parallèles). On a
H(Xi,ïi,aJH(X„î„oc,) = R(Yi,7r)R(Y2,7r)R(Y2,7r)R(Y8,7c)
= R(Yi,7r)R(Y8,7r),
a suppression de deux facteurs résultant de ce que e carré d'un renversement est égal à l'unité (n^ 9, 3^) ; n a ensuite, d'après le 5°,
R(Yi,7r)R(Ya,7r) = H(X,2,a),
22 CINJIUATIQUE
I étant le double de la plue courte diatance de Y, et Yi et u le double de l'angle de ces deux droites. Exceptionnellement I on te penvent être nuls.
Ainsi, le produit de deux déplacements Jiélicoidaiwx (pouvant être réduits à des translation» ou à des rotation», isoUment ou tov,» les deux) est un déptacement hélieoïdaî, exceptionnellement une rotation ou une Iranslation.
Ce résultat général comprend tous ceus qui ont été établis préalablement dans le présent numéro, sauf celui qui concerne la composition des inveiaions planes.
11. Tonne canonique d'un déplaconent. — Soient n, et n, deux positions d'un corps. Nous distinguerons deux cas :
a) On sait que les deux positions ont en eoniinun un point (fig. 10). — Soient alors It, et M, les deux positions, dans n, et Ilg, d'un même point du corps. Ou a :
OM, = OM,. Soit Xi la perpendiculaire commune à OM,,OM,.
Il existe une certaine rotation R(X,,x,), amenant OHi à coiiacider avec OM,.
La rotation BfXi.a,) fait passer de la position ll^ à la position 11'. Si celle-ci coïncide avec n„ c'est que le déplacement considéré se réduit à la rotation i contraire, une certaine rotation R{OM„a,), d'axe OM,. fait passer de 11/ à H,. On passe donc de H, à II, par le produit des rotations R(X„ix,), R{OMs,a,). Ce produit est équivalent à une rotation unique R(X,a) dont l'axe X passe par le point O (n" 10, 3"). En définitive :
Quand deux positions ont un point eonitnun O, on peut
Pig. 10.
R{X„i,). Dat
passer de Vune à Vautre par une rotation dont Vaace X pa^se par le point 0.
Il convient de remarquer que les deux positions ont en commun, non seulement le point 0, mais encore tous les points de Taxe X.
b) On ignore si les deux positions ont un point commun, — Soient Ml et Mg les positions, dans IIi et Ha, d'un même point du corps. Considérons une droite Xi quelconque appartenant au plan élevé perpendiculairement au segment M1M2 en son milieu (fig. 11). Il existe une rotation R(Xi,ai) qui amène Mi en M2. Appliquons-la à la position IIi. Le corps vient occuper une position Ui ayant en commun avec n, le point Mg. Si IIi' est identique à Ils, c'est que le déplacement considéré se réduit à B(Xi,ai). Sinon, on peut passer de IIi' à IIj par une rotation Fig. 11.
K(X29^2) dont Taxe X2 passe
par Mf Le déplacement considéré est alors équivalent au produit R(Xi,ai)R(X2,a2)» c'est-à-dire en général à un déplacement hSlicoïdal (n^ 10, 6°), exceptionnellement à Tme translation ou à une rotation. Ainsi :
Un corps peut toujours être amené d'une position à une autre par un déploÀiement hélicoïdcdf exceptionnellement par une tra^slaUon ou pa/r une rotation.
Tel est le théorème capital de la théorie du déplacement d'un corps. Il est facile de reconnaître que deux déplacements hélicoïdaux équivalents sont identiques, et que par conséquent la réduction d'un déplacement à un déplacement hélicoïdal ne peut être fait que d'une seule manière.
12. Fonne canonique d'un retournement. — Soient Ui et lia deux positions, telles que l'on passe de l'une
à l'autre par un retoumement. Mi et Mg étant, dans ces deux positions, les positions d'un même point du corps, considérons le plan P^ élevé perpendiculairement à MjMa en son milieu (fig. 12). Appliquons à Mi l'inversion plane I(Pi), nous obtenons une position Di' directement égale à II2 et ayant en commun avec cette position le point Mg.
On peut passer de IIi' à ïli par une rotation dont Taxe X passe par Mg, et cette rotation peut ellemême être remplacée par le produit de deux inversions planes l(Pi), l(Pz)f le dièdre (Pg,?») ayant pour arête X. On choisira comme plan Pg le plan mené par X perpendiculairement à Pi (ou un plan quelconque passant par X, si X est perpendiculaire à Pi). Le retournement considéré est donc équivalent au produit I(Pi)I(P2)I(P8), Pi et P^ étant rectangulaires.
Nous pouvons ensuite, sans changer le produit I(Pi)I(Pa), remplacer P^ et P, par deux plans P^' et Pg', également rectangulaires et formant un dièdre de même arête que (P^jPg), et faire en sorte que Pg' soit perpendiculaire à P3. On a ainsi, comme expression du retournement considéré, I(P/)I(Pa')I(P,), P/ et Pj étant perpendiculaires à P,'.
Comme deux inversions planes dont les plans fondamentaux sont rectangulaires sont permutables, on peut écrire le produit précédent I(Pa')I(Pi')I(P8). Le produit des deux derniers facteurs est en général une certaine rotation d'axe X', R(X',a). On a donc mis
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finalement le retournement considéré sous la forûie I{P'2)R(X',a)) Taxe X' étant perpendiculaire à P',, comme droite commune aux plans Pi' et Pa, tous deux perpendiculaires à P'g- Ainsi :
Tout retournement peut être obten/u par une inversion plane suivie d'une rotation cmtour d*un axe perpendiculaire au plan fondamental de cette inversion pla/m (^).
On reconnaît facilement que cette forme canonique d*un retournement donné est unique. Il est évident aussi que Tinversion plane et la rotation sont permutables. Enfin le théorème obtenu a cette conséquence immédiate : Quamd deux figures sont inversement égales^ tous les segments ayant pour extrémités deux points homologues des deux figures ont leurs milieux da/ns un même pla/n,
EXERCICES
1. Trois positions IIi, Ilo, 1X3 d'une figure plane mobile dans son plan sont en général symétriques d'une même position, respectivement par rapport à trois certaines droites.
