DC AD

ce qui prouve que D'C est de longueur constante. On a enfin AB' = BM = constante. Il résulte de tout cela que le point M peut être considéré, comme lié à la >bielle B'C du trois-barres AB'C'D', ce qui étabUt •une seconde génération de la courbe F comme courbe de trois-barres.

En faisant jouer à la diagonale BD le rôle que vient de jouer la diagonale AC, on établirait la troisième génération, les pivots des deux manivelles étant cette fois les points D' et D.

Cas particuliers. — L'ordre de la courbe du troisbarres, qui est le sixième dans le cas général, peut s'abaisser dans certains cas particuliers. Par exemple,

si ABCD est un parallélogramme, il est évident que la courbe du trois-barres est un cercle. Si ABCD est un contre-parallélogramme ou un rbomboïde, Tordre de la courbe .| du trois-barres n'est que le quatrième.

Examinons» par exemple, le cas du contre-parallélogramme. Soit ABCD un contre-parallélogramme dont les sommets A et D restent fixes (fig. 68). Pour une position BC de la bielle, le c.i.r. du plan entraîné avec cette bielle est en I, point de rencontre de AB et DC, car ces deux droites sont les normales respectives aux trajectoires 4es points

LES SYSTÈlfES ABl^ICULÉS 149

A et C. Le lieu du point I dans le plan fixe est une ellipse E de foyers A et D. On a en effet

AI 4- DI = AI 4- IB :«: AB = constante.

Le lieu du point I dans le plan mobile est évidemment une ellipse égale E', ayant pour foyers B et C, et d'après le théorème général sur le mouvement continu d'un plan, le mouvement de BC est engendré par le roulement de E' sur E. Il est clair aussi que E' reste constamment symétrique de E par rapport à la tangente commune aux deux ellipses. Donc un point M entraîné avec BC reste ^sy métrique d'un point fixe Mq par rapport à une tangente variable à E. On conclut immédiatement de là que la courbe F, lieu du point M, n'est autre chose qu'une courbe homothétique à la podaire de E par rapport à Mo, le centre d'homothétie étant le point M» lui-même et le rapport d'homothétie étant 2. F est donc bien une courbe du quatrième ordre (il est en effet connu qu'une podaire de conique est du quatrième ordre en général).

Pour d'autres cas de figure, E et E' seraient des hyperboles et non plus des elUpses.

Un cas particulièrement intéressant est celui où l'on a

BC = AD = ABv/2 = DCv/2

et oti le point M est le milieu de BC. La courbe F est, alors une lemniseaie de Bernoulli.

Courbe à longue inflexion. — Si l'on réalise un troisbarres ABCDdans lequel AB = DC (fig. 59), on constata que pour certaines proportions de l'appareil, le milieu M deBC décrit une courbe qui présente un point d'inflexion au milieu de AD et en outre deux points d'inflexion dans leB environs du premier, en sorte que cette courbe

, fw-w—f.

150 , CIKÉMATIQUE

dite courbe à longue inflexion, se confond très sensiblement avec une ligne droite sur une assez grande étendue.

On obtient ainsi un procédé approximatif de guidage rectiligne d'un point. Si les proportions sont convenablement choisies, l'écart de la trajectoire du point M et d'une droite peut rester inférieur au jeu nécessaire au fonctionnement du mécanisme, en sorte que le procédé approximatif dont il s'agit a pratiquement la même valeur qu'un procédé rigoureux.

Si l'on prolonge la manivelle DC de CF = DC, et si l'on construit le parallélogramme CFEB, il est visible que le point E décrit une courbe homotbétique de la trajectoire du point M, le centre d'homothétie étant le point D et le rapport d'homothétie étant 2. Le point E décrit donc aussi sensiblement une ligne droite. Le mécanisme ainsi constitué est le parallélogramme de Watt.

ô7. Transformation du mouvement recUligne en mouvement circulaire. — Un cas particulier du troisbarres qui se rencontre fréquemment dans la pratique est celui où l'une des manivelles devient d'une longueur infinie, c'est-à-dire que l'une des extrémités de la bielle se meut sur une droite, l'autre extrémité continuant à se mouvoir sur un cercle. En général, la droite passe par le centre du cercle (fig. 60). Ce mécanisme est, par exemple, celui qui relie le piston à l'arbre d'une machine à vapeur.

Soit MP la bielle, le point M se mouvant sur un cercle C de centre 0, et le point P sur une droite passant par le point 0. En supposant que le point M est animé sur le cercle C d'un mouvement uniforme, de vitesse

angulaire w, il est facile d'avoir à chaque instant, par une construction géométrique, la vitesse du point P.

En effet, le c.i.r, de la bielle est en I, point de rencontre des normales aux trajectoires des points M et P.

On a donc entre les vitesses Vp et Vm des points M et P la relation

Vp ^ IP Pig. 60.

Élevons e^ la perpendiculaire Oy à OP, et soit Q le point où PM rencontre Oy. On a

2P OQ

IM " OM' Donc

Vp = Vm^= a).OM^=a).OQ.

Ainsi la vitesse du point P est à chaque instant proportionnelle à la longueur du segment OQ.

68. Pantographe. — Le pantographe est un appareil qui permet de construire une figure homothétique à une figure donnée.

Il se compose d'un parallélogramme articulé ABCD (fig. 61). Si l'on marque, respectivement sur les côtés AD, AB et CD, trois points 0, M et P tels que l'on ait la relation

AM DP

OA "" OD' il est clair que ces trois points ne cesseront pas de

rester en Hgne droite et que Ton aura toujours, quelle que soit la forme prise par le parallélogramme,

OM OA OP"" od"

Si donc on fixe le point et si l'on déforme le parallélogramme de manière

Dj i^ y^P à faire décrire au

point P une courbe quelconque (ce qui est évidemment possible, du moins dans une certaine région du plan), le point M PJg« 01. décrira la courbe

ho mo thétique à celle ci, le centre d'homothétie étant en et le rapport

d'homothétie étant -r^»

On voit encore que la droite OMP rencontre BC en un point N, fixe par rapport à ce côté, et que ce point décrit aussi une courbe homothétique à la courbe donnée.

GénéraliscUion du pantographe. — On peut généraliser le pantographe, et réaliser un système articulé à quatre membres qui permet de construire une figure semblable à une figure donnée, mais non plus nécessairement homothétique.

Soit encore ABCD un parallélogramme articulé (fig. 62). Soient et P deux points quelconques^ liés respectivement aux côtés BC et CD, en sorte que les triangles BOC et DCP sont de grandeurs constantes et peuvent être réalisés par des plaques. Construisons le triangle POM, directement semblable au triangle COB.

■Pl

Je dis que le point M reste fixe par rapport au côté AB, au cours de la déformation du parallélogramme. En effet, on voit tout d'abord que les triangles OBM, OCP sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. On a donc

BM OB