OM OB

= constante.

Si donc on fixe le point et si l'on fait décrire au point M une courbe quelconque, le point P décrira une courbe dérivant de ceUe-ci par une homothétie suivie d'une rotation, c'est-à-dire une courbe directement semblable et d'ailleurs quelconque. On peut faire en sorte, en particulier, que le rapport de similitude

soit égal à l'unité : il suffit pour cela que Toii ait OB = OC. On obtient ainsi un appareil propre à réaliser un déplacement (^).

59. Inverseurs. Tracé rigoureux de la ligne droite. — On sait que deux figures sont dites inverses par rapport à un point 0, quand il existe entre ces deux figures une correspondance ponctuelle telle que, M et M' étant deux points correspondants, ces deux points soient en ligne droite avec le point 0, et que l'on ait OM.OM^ = K, K étant une constante, dite puissance d'inversion, est dit le pôle de Vinversion.

Nous décrirons deux systèmes articulés propres à construire la figure inverse d'une figuïe donnée. On les appelle pour cette raison inverseurs,

1° Inverseur de Peaucéllier, — Il est constitué par un losange articulé ABCD (fig. 63). Aux sommets opposés

B et D sont articulés ^^^^^ deux tiges égales OB,

^,^^--^^^y^ ^\ OD.

^^^--""'''^^ y^ -^ Si l'on fixe le point

0^ "^^^-^^^ \v X ^' ^ ®®* ^9À'^ que Ton

""^"^^^^^^iiv>/^ peut déformer l'appa-

D reil de teUe manière

Fig. 63. que le point A décrive

une courbe quelconque. Je dis que le point C décrit alors une courbe inverse de celle-ci par rapport au point 0.

En effet, il est tout d'abord évident que les points 0, A, C sont en ligne droite. En second lieu, si l'on considère le cercle de centre B et de rayon BA, la droite OAC rencontre ce cercle en A et C. La puissance du

(1) On peut aussi réaliser au moyen d'un système articulé un retournement et plus généralement une similitude inverse. Mais l'appareil est beaucoup plus compliqué.

point par rapport à ce cercle est donc égale à OA.OC. Elle est d'autre part égale, en vertu d'u^ théorème

connu, à OB — BA . On a donc

OA.OC = Ob' — BÂ" =^ constante,

ce qui établit la proposition.

20 Inverseur de Hart. — Il ne comprend que quatre tiges, c'est-à-dire deux de moins que le précédent. Il est constitué par un contre-parallélogramme ABCI> (fig. 64). Si l'on marque, respectivement sur AB, AD et BC trois points 0, M et N tels que l'on ait

OA MA NC OB ~ MD ~ n5'

il est clair que ces trois points seront toujours en ligne droite, au cours de la déformation

du contre -parallélogramme, et B D

qu'en outre la droite OMN ne ces- /^N<: \

sera pas d'être parallèle à AC et n/>^^^^^^\\ BD. Si l'on fixe le point 0, on l^["".?^ peut déformer l'appareil de telle ^ ^

manière que le point M décrive Fig. 64.

une courbe quelconque. Je dis que le point N décrit une courbe inverse de celle-ci par rapport au point 0.

En effet, il est évident que les quatre points B,D,M,N sont sur un cercle. Soit P le second point de rencontre de ce cercle avec AB. On a