Angle tétraèdre articulé. Joint de Cardan
Soient OA, OB, OC, OD quatre droites concourant en
Q un point (fig. 65). Elles for-
ment un angle tétraèdre dont les
faces sont les angles AOB, BOC,
COD, DO A. Il est clair que l'angle tétraèdre peut se déformer, ses quatre faces restant de grandeurs constantes, et ses dièdres variant. On peut donc parler d'un angle tétraèdre articulé. C'est un système à quatre membres.
La trace de T angle tétraèdre sur une sphère quelconque de centre est un quadrilatère sphérique articulé ABCD, dont la déformation est analogue à celle du quadrilatère articulé plan.
Joint de Ca/rda/n. — Le joint de Cardan, ou plus simplement, le cardan, est un mécanisme destiné à transformer un mouvement de rotation autour d'un axe en un mouvement de rotation autour d'un autre axe, rencontrant le premier mais ne le prolongeant pas.
Il se compose d'un croisillon constitué par jdeux tiges AA', BB', se rencontrant en O à angle droit et formant un système rigide (fig. 66). Les longueurs OA, OA', OB, OB' sont en général égales. Les extrémités de la tige A A' s'engagent dans des œils, pratiqués dans les branches d'une fourche AETX' solidaire d'un axe DX. De même les extrémités de BB' s'engagent dans des œils pratiqués Fig. 66.
dans les branches d'une
fourche BCB', solidaire d'un axe CY. L'appareil est construit de telle sorte que DX et CY passent en 0.
Il est clair qu'une rotation du corps ADA'X autour de OX entraîne une rotation de BCB'Y autour de OY. On a en OABCD un angle tétraèdre articulé de sommet 0. Trois des faces de cet angle tétraèdre, à savoir AOB, BOC, AOD, sont des angles droits.
Désignons par l'angle -z — COD et cherchons la relation qui lie la vitesse angulaire de la rotation autour de X à celle de la rotation autour de Y
Les points A et B décrivent, sur une sphère de centre deux grands cercles BgA et BoB dont l'angle est égal
à 6 (fig. 67). On peut supposer, sans inconvénioni, le rayon de cette sphère égal à l'unité. Alors l'arc de
grand cercle AB est égal à -•
Quand le point B est en Bq»
le point A est en A© tel que
arc BoAo = -• Posons "^ arc AoA = a?, arc BqB = y.
Fig. 67.
dx dy
rr et rr- sont évidemment les
dt dt
deux vitesses angulaires entre lesquelles nous cherchons à établir une relation.
On a, par la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique,
cosBqA.cosBoB + sinBoA.sinBoB. cos 6= cosAB,
ce qui se réduit à
sin X cos y + cos x sin y cos 6 = 0'
— tg a; = tg y cos 6.
En différentiant, il vient :
— (1 [. tg^x)dx = (1 + tg*y)oos6dy.
ou
d'où dy
dx
l 4- tg* a; 1 + tg* y cos* 6 cos" y + sin"y cos* ^
(l+tg*i/)cos6 (l + tg22/)cos6
1 — sin* y sin* Ô
cosô
cos 6
On voit donc que
dy
dx
c'est-à-dire le rapport des
vitesses de rotation,, n'est pas constant.au cours du
