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LES SYSTÈMES AKTICULÉ3 169

mouvement. Ce rapport atteint ses valeurs extrêmes

pour y = et y = -" Ces valeurs sont respectivement

Al

1 1— sin*6

et z — = oos 9.

CCS 6 cos 6

On voit encore que, pour ô = -> on aurait constam-

TZ

ment, soit x = 0, soit y — -r- Cela revient à dire que,

si les axes x ety sont rectangulaires, le fonctionnement du cardan est impossible. On s'en rend d'ailleurs immédiatement compte a priori.

61. Mécanisme de M. Bennett. — Dans un angle tétraèdre articulé sont réalisés quatre couples rotoïdes, dont P ensemble est déformable. Nous allons faire connaître un système jouissant de propriétés analogues, avec cette particularité remarquable que les axes des couples ne se rencontrent pas deux à deux. C'est le mécanisme de Bennett.

Considérons un quadrilatère gauche ABCD, dont les côtés opposés sont égaux deux à deux (fig. 68). Un tel quadrilatère admet pour axe de symétrie la droite qui joint les milieux I et J de ses diagonales.

En effet, les deux triangles. ADC et CBA étant égaux, le point I est équidistant des points B et D. Donc IJ est per- Pig. 68,

pendiculaire à BD et

les, points B et D sont symétriques l'un de l'autre par rapport à IJ. De même A et C.

Appelons dièdres du quadrilatère gauche ceux des

160 CDïÉMATIQUB

dièdres du tétraèdre ABCD qui ont pour arêtes les côtés du quadrilatère.

Si Ton se donne seulement les longueurs AB = CD =o et BC = DA = 6, le quadrilatère peut être déformé, sa forme dépendant de deux paramètres indépendants (par exemple les longueurs des diagonales). Il reste encore déformable si on Pastr^nt à une condition.

Imposons-lui comme condition que le dièdre A£ soit de grandeur constante. Je dis quHl en est alors de même de tous ses autres dièdres. En effet, on a, dans le trièdre (BA, BC, BD), la relation connue

sinBC sinABD sin ABD sin AB sin DBC sin BDA

la seconde relation résultant de l'égalité des triangles DBC, BDA. Mais

sin ABD AD h AB ~ a'

sin BDA

Donc :

sinBC sinAB

et, AB étant constant, il en est de même de BC. Les

dièdres CD et DA qui sont respectivement égaux aux deux premiers sont aussi constants.

Cela posé, considérons les droites AX, BY, CZ, JDT, perpendiculaires respectivement aux plans DAB, ABC, BCD, CD A. Les droites AX et BY ont une perpendiculaire commune de longueur constante, à savoir AB,

et font entre elles un angle constant, à savoir l'angle

du dièdre AB. L'ensemble AX, BY constitue donc un corps rigide (1). De même BY et CZ, un corps rigide (2) ; CZ et DT, un corps rigide (3) ; DT et AX, un corps rigide (4). On a bien réalisé par les corps (1), <2), (3), (4), un système déformable de quatre couples rotoïdes, dont les axes AX, BY, CZ et DT, ne se rencontrent pas deux à deux.

62. Hyperbololde articulé. — Comme autre exemple de système articulé dans l'espace, nous ^gnalerons Vhyperholoïde articulé.

Établissons d'abord le lemme suivant :

8% deux points A et ^ se meuvent simuUcmément, de telle mcmière que leurs trajectoires soient à chaque insta/nt normales tous les deux à la droite AB, AB est de longueur constante.

Soient en effet {x, y, e) et (»', y'tZ') les coordonnées des points A et B. Les hypothèses se traduisent par les formules.

(x' — x)dx' -\- {y' — y)dy' + (z' —z)dz* = 0, (x' — x)dx + iy' — y)dy + {z' — z)dz =0,

d'où, par soustraction,

{x' — x){dx' — dx) + (y' — y)(dy' — dy) + (z' — z)(dz' — dz)= 0,

et, en intégrant, •

{x' — x)* + {y' — y)* + {z' — zy = constante,

ce qui établit la proposition.

Cela posé, nous allons démontrer ceci :

Considérons un hyperboloïde à une na/ppe, et réalisons par des tiges rigides des génératrices en nombre quelconque de Vun et de Vautre systèmes de cet hyperboloïde, deux génératrices de systèmes différents éta/ni articulées en leur

Bricard. -— Cinématique. 11

point de rencontre (^). Ce système articulé est déjorrMMe, Au cours de la déformation, les tiges sont des génératrices d'une série d'hyperholoides éga/ux à des hyperhoUndes homojoca/iix à Vhyperholoîde donné.

Soit en effet

réquation d'un kyperboloïde à une nappe (H). (Il faut, comme Ton sait, que deux des coefficients A, B, C soient positifs, le troisième négatif).

L'équation générale des kyperbolofdes homofocaux (Hx) est

X variant dans des limites telles que les conditions de signes nécessaires soient réalisées.

(^» y> ^) étant les coordonnées d*un point fixe M de (H), le point Mx dont les coordonnées sont

/A-fX , /B+X ^ /C + X ,

(3) a?; = y -^a;, yx=y-3-y, ^^= V "c"*'^

appartient à (Hx). En effet on vérifie que («x» y m ^x) satisfont à (2), si {x, y, z) satisfont à (I).

Si X varie, le point Mx décrit une courbe C. Je dis que cette courbe coupe orthogonalement tous les hyper boloïdes (Hx).

(1) Il faut supposer que les articulations sont réalisées de manière à constituer des couples spTUriqueSt de manière à permettre tous les mouvements relatifs possibles de deux génératrices qui se rencontrent, leur point commun restant fixe sur chacune d'elles.

LES SYSTÈMES ARTICXTLÊS 163

On a en effet, par différentiation des fommles (3), * a?d^ , ydX zdX

D'autre part, le plan tangent à (Hx) en M^ a pour équation

A + X'B+X'C + X ou

aX . yY ;»Z

Les coefficients de X, Y, Z sont proportionnels à dx-^^ dyxt dzx, ce qui justifie l'assertion faite plus haut.

Cela établi, on voit que les formules (3) établissent entre les points de Thyperboloïde (H) et d'un hyperboloïde (Hx) donné une correspondance affine (c'est-àdire une correspondance homographique, avec conservation du plan de l'infini). Une telle correspondance conserve les droites. Donc aux génératrices de (H) correspondent les génératrices de (Ex).

Soient M et N deux points de (H), apparfenant à une même génératrice. Si l'on fait varier X, les points correspondants M>. et Nx appartiendront à chaque instant à une même génératrice de l'hyperboloïde correspondant (Hx). En outre, puisque les trajectoires des points Mx N^ sont à chaque instant orthogonales à l'hyperboloïde (H ), elles sont en particulier normales à la droite M>.Nx, qui appartient aux plans tangents en Mx et Nx. Par conséquent, en vertu du lemme, la distance Mx Nx est constante. Ainsi, la correspondance établie entre les génératrices de (H) et de (Hx) est telle qu'il y ait conservation de la longueur du segment limité sur ime génératrice par ses points d'intersection

avec deux génératrices de système opposé. Cela étal)lît bien la déformabilîté du système articulé défini plus

haut (0.

Une réalisation assez répandue de Thyperboloïde articulé est constituée par le cache-pot, formé de baguettes assemblées par des clous. Cette réalisation est d'ailleurs imparfaite, parce que les baguettes constituent deux à deux des couples rotoîdea, alors qu'il faut des couples aphériques,

63. Description mécanique du plan. — Gr. Darboux et M. Kœnigs ont imaginé un appareil, constitué de quatre tiges articulées seulement, qui permet de décrire le plan mécaniquement. On peut rattacher cet appareil à l'hyperboloïde articulé. Nous allons en exposer la théorie d'une manière indépendante.

Démontrons le théorème suivant :

Si trois points marqués sur une droite mobile {c'està-dire à des dista/nces mutuelles invariables) sont assujettis à rester sur des sphères dont les centres sont en ligne droite, tout point marqué sur la même droite reste aussi sur une sphère dont le centre est aligné sur ceux des trois premières sphères.

Soient Wj, wa, w, les centres des trois sphères Si, S,, Ss, de rayons respectifs Ri, Rg, Rst sïir lesquelles sont assujettis à rester les points Mi, M|, Ms de la droite D. Soit Mo un quatrième point marqué sur la droite D.

Posons MqMi = Xi, MoM, = X,, M0M2 «= Xs ; Xi, \, X, sont des longueurs constantes.

(1) En appliquant les formules (3), on reconnaît par un calcul simple que Wk Nx = MN, mais la démonstration du texte met en évidence ce fait remarquable que, si l'on déforme un hyperboloïde articulé de tellQ manière que ses axes restent fixes, la courbe décrite par le point de rencontre de deux génératrices de systèmes différents est une trajectoire orthogonale de la famille d'hyperboloïdes homofocaux réalisés.

LES SYSTÈMES ABTICULÉS 165

Prenons comme axe des x la droite (o^ (02 0D3 et soit

réquation de la sphère S,.

Désignons par x, y, les coordonnées du point Mo> par a, p, y les cosinus directeurs de la droite D. Les coordonnées du point Mi sont

X + \a, y -h hp,' + hyy

et les conditions de l'énoncé se traduisent par les trois relations

^ {x+l.oi-^l.y + (y + /ip)« + (z+hy)^ = RiS (i = 1, 2, 3),

ou, en tenant compte de a* + p^ + y* = 1,

(4) x^ + y^.-\-z^ + 2li{cLX + py + Y^) — 2Ux = Ri» — ïi« — Ai* + 2liliOi, (i = 1, 2, 3).

S'il n'y a pas de relation particulière entre les /i et les lit il est clair que les trois équations précédentes peuvent être résolues par rapport aux quantités

a;2 + 2/2 + z^, aa? + By + yz , x,

et l'on obtient pour ces quantités des expressions linéaires en a

f a;2 -f t/2 + 5?2 Aia + B„

(5) } eux + p2/ + ï^ = ^2^ + B2, { ^ 'X = Asa + Bs,

Al Bj, A2, Bg, As, B3 étant des constantes.

Les conditions de l'énoncé équivalent donc à supposer entre les six quantités a;, y, Zy a, p, y les trois relations (5), auxquelles il faut joindre la relation

soit quatre relations en tout.^ On en conclut que ces

six quantités peuvent être considérées comme fonctions de deux variables indépendantes. Il en sera de même des coordonnées

d'un point M quelconque marqué sur la droite D (X constant). Ce point est donc libre de se mouvoir sur une surface (ou tout au moins, si l'on tient compte des conditions de réalité que ferait connaître une discussion complète du système, sur une certaine région de cette surface). Keste à montrer que cette surface est une sphère.

A cet effet, exprimons que le point M reste à distance constante d'un point (o, de coordonnées (Z, 0, 0). Il suffit pour cela de récrire l'équation (4), en supprimant les indices :

ic* + y* + ^" + 2X {(XX -f Py + yz)—2lx

ou, en tenant compte des relations (5),

Aia + Bi + 2X(A2a + Ba) — 22(A8a -j-Bj) = K» — ï» — X* + 2?Xa.

Pour que cette relation soit satisfaite, quel que soit a, il faut et il suffit que l'on ait

2ïk + 2AJ, — 2AaX -- Al = 0,

R» — Z« — X2 — Bi — 2B2X + 2B,Z = 0.

X étant donné, on pourra trouver en général une valeur de l satisfaisant à la première de ces relations, et ensuite une valeur de R satisfaisant à la seconde.

Cela établit la proposition énoncée (nous ne discutons pas la réalité du mécanisme).

La première relation a la forme d'une relation homographique entre Z et X. Autrement dit, un poi^t M de

LES SYSTÈMES ABTICULÉS 167

la droite D et le point (o de Ox, qui est le centre de la sphère sur laquelle reste M, se correspondent homographiquement. (Mi, (Di), (Ms, (Og), (Ma» (o,) constituent, d'après l'énoncé même, trois couples de points correspondants. On a donc, en vertu d'une propriété fondamentale des divisions homographiques, l'égalité entre rapports anharmoniques

(M M^ Ma Ma) = (o) (o^ (o^ (Og).

ce qui fournit une construction simple du point o), étant donné le point M, ou du point M, étant donné le point a>.

En particulier, il existe sur D un point M^ dont le correspondant est le point à l'infini de Ox. La sphère décrite par le point M^ se réduit à un plan perp^endiculaire à Ox.

Ainsi, il existe un "point de D qui décrit un plan perpendicuîaire à Ox.

C'est là le principe de l'appareil Darboux-Kœnigs.

M. Kœnigs a étendu à l'espace le théorème de Kémpo (no 59) et démontré que l'on peut toujours réaliser un système articulé permettant de décrire une courbe ou une surface algébrique donnée. Plus généralement, on peut réaliser au moyen d'un système articulé toute correspondance algébrique donnée entre deux figures.