EXERCICES SUR LES CHAPITRES VI, VII ET VIII

1, Construire un train épicycloïdal réalisant le rapport de

vitesses angulaires -j-^ •

2. Faire Tépure d'une came commandant un galet dans les conditions suivantes : pendant le premier quart de tour de la came, le galet s'éloigne du centre de celle-ci de 10 centi-

168 CIKÉMATIQUB

mètres ; pendant le second quart de tour il se rapproche de 2 centimètres ; pendant le troisième quart, il reste immobile ; pendant le quatrième quart, il revient à sa position initiale^ située à 10 centimètres du centre de la came. Pendant chacune des trois périodes où le galet est en mouvement, sa vitesse est constante.

3. Un <|uadrilatère gauche e^t articulé en ses quatre sommets (couples sphériques). Montrer que si un point est relié par des tiges de longueurs constantes à trois points appartenant à trois des côtés du quadrilatère, on peut relier le même point par une tige de longueur constante à un point convenable marqué sur le quatrième côté, sans gêner le quadrilatère dans sa déformation.

4. O et O' étant deux points fixes, on considère un système articulé plan formé de quatre tiges de longueurs quelconques OA, AB, BA', A'O', et Ton déforme ce système de telle manière

/\ que Tangle OAB soit' égal en grandeur et en Hgne à l'angle

0'A'B^ Montrer que le point B décrit en général un cercle et qu'il en est de même du quatrième sommet du contreparallélogramme construit sur BA et sur BA'. L'un de ces cercles peut se réduire à une droite. Déduire de là le principe d'un nouvel appareil à sept tiges permettant de décrire la ligne droite.

Si la déformation est faite de telle manière que les angles

OAB, O'A'B' soient égaux en valeur absolue et de signes contraires, le point B décrit encore un cercle, mais il faut da is la suite de l'énoncé, remplacer le contre-parallélogramme par un parallélogramme.

5. Un solide se meut de telle manière qu'une de ses droites glisse sur une droite fixe et qu'un de ses points reste sur une sphère fixe. Démontrer que tous les points du solide restent siir des sphères fixes.

6. Si quatre points, marqués sur une droite, restent chacun sur un plan fixe, tous les points de la droite décrivent des ellipses.

7. Si quatre points, marqués sur une droite, restent respectivement sur quatre sphères dont les centres sont dans un laôiiic plan, il en est de même de tous les points de la droite.

Note I TEÉOBIB DES VEGTEUBS

Axes de coordonnées et sens direct de rotation. —

Dans toutes les parties de cet Ouvrage où il est fait appel à un système d'axes de coordonnées rectangulaires» on adopte la convention astronomique quant au sens du trièdre formé par ces axes, c'est-à-dire que pour un observateur ayant les pieds en et la tête en z, la rotation d'un angle droit qui arùène Ox suj Oy s'effectue, pour cet observateur, dans le sens inverse de celui des aiguilles d'une

montre (fig. 69, où Oy et Oz

étant supposés dans le plan de la / ^

figure, Ox est dirigé en ayant de celui-ci). On peut dire aussi qu'en ouvrant les trois premiers doigts Fig. 69,

de la main gcmche, de manière à

les disposer suivant les arêtes d'un trièdre trirectangle, le pouce pourra être dirigé suivant Ox, le médius suivant Oy, Vindex suivant Oz.

Lie sens de rotation indiqué est dit sens direct. Quand une droite est orientée, c'est-à-dire quand on a défini sur elle un sens positif dé parcours, on définit du même coup un sens direct de rotation autour de cette droite : c'est le sens de rotation direct pour un observateur couché le long de la droite, de telle manière qu'un point décrivant celle-ci dans le sens positif traverse l'observateur des pieds à la tête. On appelje souvent axe une droite orientée.

170 CINÉMATIQUS

Vecteurs. — On appelle d'une manière générale vecteur une portion de droite AB, supposée orientée du point A, dit son origiine, vers le point B, dit son

extrémité. On le représente par la notation AB, ou encore

par une lettre unique surmontée d'une flèclie, V. La droite à laquelle appartient le vecteur est dite sup'pori de celui-ci.

Deux vecteurs AB et CD sont dits équipoUents quand les segments AD et BC ont même point milieu (fig. 70). Si les deux vecteurs n'ont pas le même support, ce qui est le cas de la figure, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Vecteurs libres et vecteurs glissants. — Il y a lieu de considérer deux sortes de vecteurs :

1® Le vecteur libre : deux vecteurs libres sont considérés comme identiques quand ils sont équipoUents.

Aussi pour définir un vecteur ^v^ libre, il suffit dé se donner la

y^ ! ""-, direction de sa droite support y^^^-i-""'^^ (c'est-à-dire une droite quelcon- ^^^ ; y^ que parallèle à cette droite sup-

^-.^y port), le sens du vecteur et sa

C grandeur ou module, qui est un

Fig. 70. nombre positif exprimant le rap-

port de la longueur du vecteur à une certaine longueur prise comme unité. L'origine d'un vecteur libre peut être prise en un point quelconque de l'espace.

La grandeur du vecteur AB est indiquée par la

notation modAB ou simplement AB.

On indique l'équipollence de deux vecteurs libres par

le signe de l'égalité. Ainsi, sur la fig. 70, AB = CD.

THÉORIE DES VECTEUBS 171

Plus généralement, si AB et CD sont des vecteurs libres parallèles, on écrira

CD = XAB,

X étant le nombre exprimant le rapport des grandeurs des deux vecteurs, précédé du signe + ou du signe — suivant que les deux vecteurs sont ou non de même sens. En particulier, si X = — 1, on dit que les vecteurs sont opposés.

Quand un vecteur V est de longueur nulle, on écrit

Un vecteur de grandeur égale à l'unité est dit vecteur unitaire,

2° Le vecteur glissant : deux vecteurs glissants sont considérés comme identiques quand ils sont équipoUents et qu'en outre ils ont la même droite support. L'origine d'un vecteur glissant peut être prise en un point quelconque de sa droite support.

Un vecteur glissant, d'origine A et équipoUent à un

vecteur V, sera désigné par la notation (A, V). Si B est un autre point quelconque de la droite support, on écrira

Dans la pratique, on supprime fréquemment les épithètes libre et glissami, quand il n'y a pas à craindre d'ambiguïté.

Somme de deux vecteurs libres. — Soient V et V

deux vecteurs libres.

->- Donnons pour origines à V un point quelconque 0,

et à V, rextrémité A de V (fig. 71). Le vecteur libre

W = OB, B étant rextrémité de V, est dit somme

géométrique t ou plus simplement somme

des vecteurs V et V. On écrit

On se rend compte immédiate-

ment que Ton a V + V = V -f V.

Autrement dit, T addition clés vecteurs est commutative.

La construction s* étend immédiatement à T addition

de vecteurs libres en nombre quelconque Vi, Va, ... V^.

On donnera à Vi une origine quelconque 0, à Va pour

origine l'extrémité de Vi, ... à Vn pour origine Textré-

mité de V»i. Soit An l'extrémité de V^. Le vecteur

libre W = OA^ est dit somme des vecteurs donnés,

et Ton écrit

W = V, + Va + ... + Vn.

On vérifie aisément que l'addition de vecteurs en nombre quelconque est commutative, et qu'elle est aussi associative, c'est-à-dire qu'on ne change pas une somme, en remplaçant un nombre quelconque de ses termes par leur somme effectuée. On aura par exemple

V^ H- V, H- V, + vi + vl = Vi + V, + W,

en posant

W = Va + V^ + Y,.

THÉORIE DES YECTEUBS

Composantes et projections. — Prenons trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy, Oz (fig. 72), et considérons les trois vecteurs tinitaîres

i = OA, j = OB, Je = OC,

dirigés respectivement suivant Ox, Oy, Oz, dans le «ens positif sur chacun de ces axes.

Soit V un vecteur libre

quelconque. D onnons - lui

comme origine le point

et soit OM =s V. Soient

Ma-, My, M» les projections

du point M sur les axes.

Les vecteurs libres

Fig. 72.