OA = U, OB = V, OC = W

Soit OD = V + W. D est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur OB et OC.

En désignant par fi, ^ ®* ^ l®s projections sur OA des points B, C et D, on a, comme on vient de le voir

U.(V + W)= OA.Oo,

U.V=OA.O(i,

U.W==OA.Oy.

Mais, d'après le théorème élémentaire des projections,

Oo = Op + Oy.

En multipliant par OA les deux membres de cette égalité, on obtient bien la relation (7).

Les vecteurs unitaires i, j et h satisfont aux relations

i« = j* = fe« = 1, j ,h = h .i = i. j = 0.

Moment résultant d'un système de vecteurs par rapport à im axe. — Soient MU une droite orientée ou axe, M l'un quelconque de ses points. Etant donné un système de vecteurs glissants, on a défini plus haut le moment 'résultant 3TI de ce système par rapport au point M. La projection y- de SHI sur MU (rappelons que cette projection est un nombre algébrique) est dite " moment résultant du système de vecteurs considérés par rapport à Vaxe MU.

Cette définition ne peut présenter d'intérêt que si ce moment résultant ne dépend pas du choix du point M sur l'axe MU. Montrons qu'il en est bien ainsi.

Soit en effet u un vecteur unitaire, parallèle à MU et ayant le même sens que cet axe. D'après la définition transformée du produit scalaire, on a

-y --V jJL = i* . 311.

Le moment résultant )x! du système de vecteurs considérés par rapport au même axe MU, mais défini au moyen d'un autre point M' de cet axe, sera donné par

3îl' étant le moment résultant du système par rapport au point M'.

D'autre part, la formule (4), établie plus haut,

peut s'écrire

en posant <

(8) W= (^Vi) X MM'.

On a donc

(x' = tt.(3fn + w) = u.fïïi + t*. w.^

Mais, si Ton se reporte à la définition du produit vectoriel, il résulte de (8) que W est nul ou perpendi-

culaire à MM' et par conséquent à u, puisque M et M'

sont deux points de Taxe MU. On a donc

u ,W = 0, et par conséquent

[x' = jjL, c. q. /. d.

Application géométrique : 'théorème de Stewart. —

Pour donner au moins une application géométrique du calcul vectoriel, considérons des points Ai, Aj, ... A affectés respectivement des coefficients m^, ma, ... w et soit A leur barycentre. On a, M étant un point quelconque, l'identité

MAi = MA + AAi, d'où Ton tire, par multiplication scalaire,

MAi' = MA* + AAi + 2MA . AAi.

Multiplions par mi les deux nombres de cette égalité, et faisons la somme des égalités ainsi obtenues pour les diverses valeurs de i : 1, 2, ..., n. il vient

+ 2 MA. 2^ mj AAj.

THÉORIE d:^s vecteurs '193

Mais, si dans la formule (5) on suppose que le point O se confond avec le point A, on trouve

Z^ nti AAl = 0.

L'égalité précédente se réduit donc à

Le théorème exprimé par cette formule est connu sous le nom de théorème de Stewart (^).

EXERCICES