AB . CD + AC . DB -}- AD . BC

En déduire ce tliéorème : si dans un tétraèdre deux couples d'arêtes opposées sont formés de droites rectangulaires t il en est de même du troisième couple,

H. Formule du double produit vectoriel. Soient U, V, Wi trois vecteurs libres quelconques. On a la relation

Autrement dit : le vecteur^ produit vectoriel de U par U

vActeur produit vectoriel de V et de W, est la somme des vecteurs

\ et W, multipliés respectivement par deux nombres qui son les vroduiis scalaires V . W et — U . V.

Pour démontrer cette formule qui a de très nombreuses applications, on reconnaîtra d'abord, par un raisonnement géométrique, que le vecteur représenté par le premier membre

est dans le plan (V, W), en supposant que l'on donne une origine commune à tous les vecteurs considérés dans le raisonnement, et l'on en conclura que ce premier membre peut être

mis sous la forme IV -f mW, Z et m étant certains coefficients nimiériques à déterminer.

On montrera ensuite que le coefficient l est indépendant

de V. A cet effet, V' étant un nouveau vecteur, on écrira :

u X (V X W) = vy + m'W,

et en observant que V' peut être mis sous la forme (1) de l'exercice 4, on parviendra à une identité vectorielle exigeant V = 1.

On déterminera enfin par un raisonnement géométrique,

le coefficient Z en supposant V perpendiculaire au plan (U , W)* 7. Pour qu'un système de vecteurs glissants soit équivalent à un vecteur unique, il faut et il suffit que les cordonnées de ce système satisfass nt à la relation