COURBES GAUCHES

Soit jx' le point de F qui correspond au point M'. Le plan OfXfx' est parallèle au plan mené par MT parallèlement à la tangente en Mi à C. Par conséquent, lorsque M' vient se confondre avec Ml le plan 0[L[l' est, à la limite, parallèle au plan osculateur à C en M.

La position limite de fx^x' est donc parallèle à ce plan OBculateuT. D'autre part, cette position limite est tangente à la sphère S en {x et par conséquent perpendiculaire à 0[x, c'est-à-dire à MT. On voit donc> qu'à la limite, [X{x' est parallèle à la normale principale MN,

Désignons par a, p, y les cosinus directeurs de MT. et par a', p', y' ceux de la normale principale MN, orientée dans le sens limite de fxu.'. Cherchons des expressions de ces derniers cosinus. Le point (x a pour coordonnées a, p, Y î ^® point [x' a pour coordonnées a + Aa, p + Ap, y + Ay, cosin'us directeurs de la tangente en M'. On a donc par exemple

Aa . Aa A« arc ixix'

a = lim — = lim ^^ -^— •

(xtx' As arc ul(x' [X(x'

arc (X{x' désignant l'arc infiniment petit du grand cercle

tracé sur H et passant par les poirts |x et {x'.

Aa dd Mais lim -—=---; d'autre part, la courbe V étant A9 as

tracée sur ime sphère de rayon égal à l'unité,

arc jx[x' =. (xOjx' = s.

. ,. A« ^ ^. ,. arc au.'

et lim -, = R ; enfin lim ^-t— = 1.

arc [ji.|jl' jXjjL

Donc :

as co qu*on peut écrire

da a' dJ ~ R' ' de même

dfi R ds ~ R

do.

Ces formules, ' qui font connaître les dérivées — >

as

d^ dy

-p et -p en fonction des cosinus directeurs de la normale

as as

principale, sont connues sous le nom de formules de

Frenet,

Si Ton porte sur la normale principale^ orientée dans le sens indiqué, la longueur Ma> = R, o) est dit centre de courbure en M.

Il existe d'autres groupes de formules de Frenet, faisant connaître les dérivées par rapport à s des cosinus directeurs de la normale principale et de la hinormale (perpendiculaire au plan osculateur). Il est inutile de les établir ici.

Note III