PRINCIPES DE LA CINÉMATIQUE

GBAPHIQUE

l. En vue de certaines applications pratiques, il est avantageux de pouvoir étudier d'une manière simple la distribution des vitesses et des accélérations des divers points d'une figure plane ayant une loi de mouvement donnée. On peut y parvenir par l'emploi des çiéthod^s de la Cinématique gra/phique, dont nous allons exposer les principes (^).

Etant donnée une figure plane qui se meut dans son plan suivant une certaine loi, menons à un instant quelconque, à partir d'une origine quelconque 0, des vecteurs équipoUents aux vecteurs vitesses des divers points de cette figure. La figure formée par les extrémités de ces vecteurs a reçu le nom de cinème du premier ordre de la figure considérée. Le point est le pôle du cinème.

De même, si l'on mène d'un point des vecteurs équipoUents aux vecteurs accélérations des points de la figure, les extrémités de ces vecteurs forment le cinème du second ordre de celle-ci.

Il existe entre la figure et ses deux cinèmes la relation géométrique très simple que voiôi :

Les deux cinèmes de la figure lui sont semblables.

(1) On trouvera d'intéressantes applications de ces méthodes dans le Cours de Géométrie pure et appliqué de V École Polytechnique de M. M. d'Ocagne.

Pour établir cela, nous nous appuierons sur le lemme de géométrie élémentaire 6uiva^t :

Soient dans le plcm ABC..., A'B'C... deux figures directement semblables. Menons à partir d^un point

des vecteurs Oa, Ob, Oc, équipollents respectivement aux

vecteurs AA', BB', CC La figure abc... est directement semblable aux figures considérées.

On sait en effet qu'il existe un point co, dit centre de similitude, tel que tous les triangles coAA', coBB', ... soient directement semblables. On peut supposer que le point coïncide avec le point m. Il est alors intuitif que tous les triangles OAa, 0B&, ... sont directement semblables, et le lemme en résulte (^).

Cela posé, si ABC ... A'B'C ... sont les deux positions d'une figure aux instants t et t -^ At, les vecteurs vitesses des points A, B, C, ... sont les limites des vec-

A A' BB' teurs --— » -7—> ... .11 résulte du lemme que la ûgure Al ut

formée par les extrémités de ces derniers, supposés

menés à partir d'une origine commune, est semblable

à la figure ABC..., et la similitude de la figure et de son

cinème du premier ordre en résulte.

Soient abc..., a'b'c'.., les cinèmes du premier ordre

aux instants t et t -\- At. Far définition même de

l'accélération, les vecteurs accélérations des points

A, B, C,... sont les limites des vecteurs —— > -7- > -r- >• . ^ At At At ••

(1) Cette démonstration suppose que le point w est à distance finie. Il ne pourrait être rejeté à l'infini que si le rapport de. similitude des figures ABC..., A'B'C^.. était égal à Tunité , et si de plus leurs côtés homologues étaient parallèles. Alors tous les points a,b^c... coïncideraient.

— Pr=^

CINEMATIQUE GRAniIQUE

Comme abc..., a'h'c'... sont deux figures semblables, étant toutes deux semblables à la figure ABC..., une nouvelle application du lemme établit la similitude de la figure mobile et de son cinème du second ordre.

2. Proposons-nous de construire les deux cinèmes d'une figure mobile. Pour déterminer complètement le

Fig. 78.

mouvement de cette figUre, il suffit de connaître les

trajectoires (A) et (B) de deux de ses points A et B, et

la loi de temps du mouvement de l'un de ces points

(fig. 78). Supposons ces éléments connus.

D'un point quelconque menons deux vecteurs

Oa, Ob, équipoUents aux vitesses des points A et B.

Oa est connu par hypothèse. De 06 on sait seulement jusqu'ici que ce vecteur est parallèle à la tangente en B à (B).

Mais on peut considérer le mouvement du point B comme résultant de deux mouvements : un mouvement d'entraînement, qui est la translation d'une figure dont le point A décrit (A) suivant la loi donnée et un mouvement relatif du point B par rapport à ce système. On a, entre la vitesse absolue, la vitesse d'entraînement et la vitesse relative du point B la relation

V^ est équipollent à Oa, puisque le mouvement d'entraînement est un mouvement de translation.

\\. est perpendiculaire à AB, puisque, AB étant de longueur constante, le mouvement relatif du point B

est une rotation autour du point A. 06 est donc la

somme géométrique de Oa et d'un vecteur perpendiculaire à AB. Autrement dit : AB et a6 sont rectangulaires, ce qui permet d'achever la construction du point 6.

Ayant obtenu le point 6, on construira le cinème du premier ordre de toute la figure entraînée avec A^ on appliquant le théorème du n^ 1. On voit, d'une manière générale, qu'à deux points M et N de la figure correspondent, sur son cinème du premier ordre deux points m et n tels que les droites MN et mn soient rectangulaires (^).

Pour construire le cinème du second ordre, considérons encore le mouvement du point B comme résul-

(1) Il est facile de déduire ce résultat du théorème fonda' mental du n° 26, chap. V.

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tant des deux mouvements définis plus haut. On a, entre F accélération absolue du point B, son accélération d'entraînement et son accélération relative, la relation

En effet, le mouvement d'entraînement étant un mouvement de translation, l'accélération complémentaire est nulle (n^ 24, Chap. IV).

AjSiXit pris comme pôle du cinème un point cd quel-

' conque, soient wa et (o^ des vecteurs équipollents respectivement aux accélérations des points A et B. On a

Donc

d'où

Wa = (Dp, W, = (oa.

W,. = (op — wa = ap.

Projetons cette égalité sur la direction AB. La com-

posante de W^ suivant AB n'est autre chose que l'accélération normale du point B dans son mouvement relatif, qui est une rotation autour du point A. Cette

accélération normale a pour grandeur --^ = --— et peut