Hodo^aphe. — D'an point fixe, par exemple de
r origine des coordonnées, menons à chaque instant
un vecteur Ofx équipollent à V. Le point [x, qui a pour
->• coordonnées les projections de V,
^ dt ^' dt ^'"dt
décrit une certaine trajectoire qui est dite Vhodographe du mouvement du point M.
16. Accélération. — A chaque instant le point \l, qui décrit rhodographe suivant une loi bien déterminée,
possède un vecteur vitesse W ayant pour projections
'" dt ~~ dt*' ^*~ dt dt*' '~ dt " dt*
Ce vecteur W est dit vecteur accélération du point M.
17. Propriétés de l'accélération. Accélérations tangentielle et normale. — Nous appliquerons ici les formules de Frêne t, rappelées dans la Note II, à la fin de l'ouvrage, et nous emploierons les notations mêmes de cette notev
On a, pour la composante Wx de l'accélération en M, la suite d'égalités
^ a-x a /axa8\ d ^ ,^^ dY ,^da
W. = ^=^.(-^^)=^-(aV) = «-+V-
d*x __ à /dx da" IF "dtXdis di ,
dY „ d(x ds dt ds dt
ou enfin, d'après les formules de Frenet, ! ,xr dY ,Y*
On a de même
Ces formules s'interprètent ainsi : le vecteur W est
la somme géométrique. de deux vecteurs, l'un Wt, ayant pour projections
dY adY d\
a-—» \^-T-^ y-::-' dt ^ di ^ dt
et l'autre Wn, ayant pour projections :
^'r' Pr' ^r-
W< a pour grandeur
dY
dt
et, ayant pour cosinus direc-
teurs a, p» y, est dirigé suivant la tangente MT. Wn a
y2 pour grandeur ~ et, ayant pour cosinus directeurs
a', p', y'» est dirigé suivant la normale principale MN.
->- (vers le centre de courbure). Wt est dit {vecteur) aceé-
-> lération tangentielle et W„ (vecteur) accélération normale.
Ainsi :
Le vecteur accélération est la somme géométrique de
deux vecteurs^ Vun, dit accélération tangentielle, dirigé
suivant la tangente à la trajectoire et de gra/ndeur égale
dY à -j-y VaAitrCy dit accélération normale , dirigé suivant la dt
MOUVEMEIîT d'un POINT. 31
normale principale à la trajectoire, vers le centre de cour -
hure, et de grandeur égaXe à —•
Le vecteur acoélératioii, somme de deux vecteurs qui appartiennent tous deux au plan osculateur à la trajectoire, est lui-même dans ce plan osculateur.
Quand la vitesse est constante, Wt est nul et F accélération se réduit à l'accélération normale.
18. Mouvements particuliers. — 1° Mouvement rectiligne uniforme. C'est le inouvement d'un point qui décrit une droite avec une vitesse constante. Les coordonnées du point sont des fonctions linéaires du temps. L'accélération est constamment nulle.
2° Mouvement circulaire. C'est le mouvement d'un point M qui décrit un cercle. Soient R le rayon du cercle, V la vitesse à un instant donné. On donne au
quotient ~ = w le nom de vitesse angulaire. Si I est le
centre du cercle, l'angle cp que fait le rayon IM avec un rayon fixe IMo est une certaine fonction du temps. Si Ton désigne par s l'arc MqM, on a
__ ds Rdcp ,, , V dcp
L'accélération normale a pour valeur — • == co^R.
Si la vitesse angulaire o) (et par suite la vitesse V) est constante, le mouvement circulaire est dit uniforme.
Les formules suivantes seront utiles plus tard : Prenons deux axes rectangulaires Ox, Oy dans le plan même du cercle, et soient (Xi,Yi) les coordonnées du
= a,«(aî — XJ— ^(y — Y.).
d*y dx duy
dii^'^H + Tt^''-^'^
Les formules (1) et (2) donnent les expressions des projections sur les axes des vecteurs vitesse et accélération du point M.
EXERCICES
1. Si un point M se meut dans l'espace de telle manière que son vecteur accélération passe par un point fixe O : 1° la trajectoire du point M est dans un plan qui contient le point O ; 2*^ l'aire balayée par le vecteur OM est une fonction linéaire du temps {loi des aires).
32 CIXÉHATIQUB
point I, {x,y) celles du point M. Si l'on appelle <p l'angle
Oa;,IM, on a
a; = Xi + Rcos(p, y = Yi + Rsincp,
d'oii, par dérivation,
-=-RBm<p^=-a,(î,Y.).
dv do ,
^= Rcoscp--i= b){x — Xi), dt dt
puis, par une nouvelle dérivation,
d^x dy du)
MOIXVBMENT D'UN POINT 33
2. Etudier les mouvements de deiix points, sachant qu'à chaque instant le vecteur vitesse de chacun de ces points est équipoUent au vecteur accélération de Tautre.
3. Un point M est animé d'un mouvement défini par les équations
X = B, {(ùt — sin tùt)f î/ = B (1 — cos u>t), s «= 0,
B et (1) étant des constantes.
Construire la trajectoire du point M {cycloïde). Déterminer les vecteurs vitesse et accélération du poix^t M. Déduire de là des constructions géométriques de la tangente
ot du centre de courbure de la cycloïde.
Brioabd. — Cinématique.
