CHAPITRE II

PRINCIPES PHORONOMIQUËS

Considérations préliminaires.

La théorie des mécanismes est une science dérivée, dont les sources essentielles se trouvent, comme nous Tavons déjà dit, dans la mécanique appliquée et les mathématiques. A la première de ces sciences elle emprunte un sujet tout à fait spécial, puisqu'elle s'occupe, avant tout, de cette classe particulière de mouvements qui sont dus à des forces latentes, et qui, par conséquent, sont déterminés par les propriétés géométriques des corps servant à transmettre ces forces. C'est pour ce motif que ses problèmes se trouvent avoir, en grande partie, leurs racines dans un domaine parfaitement défini de la mécanique, le domaine géométrique, qui n'est pas toujours désigné de la même manière dans les divers traités. La désignation la plus exacte est celle de Phoronomie ; on emploie aussi assez souvent celle de cinématique^ mais à tort, car cette dénomination n'a plus ici le sens que lui avait attribué Ampère, lors de sa création. 11 nous parait, du reste, parfaitement inutile de consei*ver le mot de cinématique, en le détournant de sa signification primitive, puisque celui de phoronomie est parfaitement suffisant, et, en outre, beaucoup plus expressif. La phoronomie a, en réalité, pour but d'enseigner comment se détermine et se mesure le mouvement des corps, quelle qu'en soit la nature ; elle est donc la science de la mesure des mouvements des corps, et elle s'est particulièrement développée comme

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science de la représentation géométrique des mouvements. C'est à cette science, ainsi définie, que nous proposons de conserver le nom de phoronomie ; comme nous aurons à faire fréquemment usage de ceux de ses théorèmes qui se rapportent spécialement aux coi^s solides, nous nous trouverons naturellement conduits à les exposer un peu plus loin.

La partie purement mathématique des questions de phoronomie que nous avons à considérer constitue la matière de la science spéciale que le professeur Aronhold a désignée sous le nom de «c géométrie cinématique. » Elle est, en fait, une partie de la phoronomie, et nous ne voyons aucune utilité à lui donner une désignation spéciale. Si à cette partie on ajoute les considérations relatives aux actions des masses des systèmes de points en mouvement, on donne naissance « à la mécanique phoronomique. » C'est la science que, dans ces derniers temps, certains auteurs français ont proposé de désigner sous le nom de «c cinématique pure » (Y. l'Introduction, p. 19). Si, comme nous l'espérons, notre manière de voir venait à se généraliser, elle aurait pour résultat de faire disparaître l'espèce de confusion qui règne encore actuellement, en permettant de définir avec clarté les différentes subdivisions de la science ; en tous cas, il est à désirer qu'on mette fin à l'ambiguïté de toutes les désignations en usage jusqu'à ce jour.

Jusqu'à ces derniers temps, dans les écoles polytechniques de l'Allemagne, l'enseignement ne comprenait absolument que les parties les plus élémentaires, les plus simples de la phoronomie, c'est-à-dire celles qui se rapportent au mouvement du point et qui se trouvent traitées dans un si grand nombre de livres d'enseignement qu'elles sont aujourd'hui familières à tout mécanicien pratique, pour lequel les notions scientifiques présentent quelque intérêt. Les problèmes relatifs aux systèmes de points ne sont, au contraii*e, traités qu'exceptionnellement et sous forme d'exemples ; ils ne se rencontrent que très-rarement dans les livres offerts aux techniciens, et, dans ceux où ils se trouvent, ils sont présentés plutôt comme des additions intéressantes que comme des problèmes essentiels. Ces problèmes sont, en réalité, d'une très-grande importance pour la cinématique, et ce sont les seuls dont nous nous occuperons ici. J'ose espérer qu'une grande partie des théorèmes que nous développerons, dans le cours de nos recherches, offrira quelque intérêt de nouveauté, même pour des ingénieurs exercés. Une des propriétés les plus importantes des solutions que nous aurons

MOUYEMENT RRUTIF DANS LE PLIN. 67

à exposer est le caractère d'évidence, qui ressort comme principe fondamental et qui a pour résultat de rendre visible à l'imagination la forme qu'afiecte la marche des changements de lieux. Je me suis efforcé, toutes les fois que la chose m*a paru possible, de rendre cette propriété encore plus complète qu'on ne le faisait ordinairement jusqu'ici.

Mouvement relatif dans le plan.

Lorsque nous examinons le mouvement d'un point, nous ne sommes pas en état, avec le simple secours de nos sens, de nous rendre compte du mouvement absolu ; nous ne pouvons observer, en réalité, que les positions qu'il prend relativement à des corps ou à des points qui nous entourent. Ce rapport de positions, supposé connu à chaque instant, constitue ce qu'on appelle le mouvement relatif du point, ou si, au lieu d'un simple point, il s'agit d'un corps, le mouvement relatif du corps par rapport aux objets de Pcspace qui nous environne. Si ces derniers sont immobiles, les mouvements absolu et relatif du corps sont identiques, tandis qu'ils sont différents dans le cas contraire. Pour les recherches que nous nous proposons d'entreprendre, la considération du mouvement absolu dans l'univers n'est d'aucune importance. Nous pouvons, dès lors, donner à cette expression une signification plus restreinte, en nous bornant à considérer comme mouvement absolu, pour nous du moins, le mouvement relatif par rapport à la partie de l'espace où se fait Tobservation, et qui peut être, suivant les cas, la terre, le pont d'un navire, un train de chemin de fer, etc.

Nous commencerons par examiner tout d'abord les mouvements dans le plan, c'est-à-dire le mouvement de points dans un plan, qui sera considéré, en même temps, comme champ d'observation.

Théorème I. — Le mouvement relatif d'un point P, par rapport à un autre point Q, dans le plan, a lieu suivant la ligne droite PQ, qui

Fig. 13.

réunit ces deux points, quelle que soit, d'ailleurs, la manière dont se meut isolément chacun d'eux, par rapport au plan d'observation.

PRINCIPES PHORONOHIQUES.

Lorsque la distance PQ est connue à chaque instant, on connaît, par cela même, le mouvement relatif de P par rapport à Q, et celui de Q par rapport à P. Cette première proposition n*est pas limitée au mouvement dans un plan ; elle est également applicable, d'une manière générale, au mouvement de deux points dans Fespace.

Exemple. — Le mouvement relatif du centre P d'une planète , par rapport au centre Q du corpt central^ autour duquel elle tourne, $e réduit à une oicillation sur le rayon vecteur ?Q.

Théorèue n. — Le mouvement relatif d'un point P par rapport à un plan, dans lequel il se meut, est connu, quand on donne les mouvements relatifs de P par rapport à deux points A et B d'une figure

Fig. u.

plane, établie d'une manière invariable dans le plan du mouvement. La trajectoire du point P est le lieu géométrique du sommet P du triangle APB, dont une seconde position est représentée sur la figure en pointillé.

Exemple. — Le mouvement relatif du centre P d'une planète^ par rapport au plan du système solaire, dans lequel circule cette planète sans perturbations, est une section conique, qui peut se déterminer par la mesure de la parallaxe du corps central.

Théorème III. — Le mouvement relatif d'une figure plane par rapport à un plan, dans lequel elle se meut, est connu, quand on donne

Fig. 15.

les mouvements relatifs de deux de ses points P et Q, par rapport à deux points fixes A et B du plan du mouvement. Dans ce cas, on