PRINCIPES PHORONOMIQUES

puitse être une chaîne fermée. Lopinion, en apparence contradictoire ^ que certains mécaniêmes nouveaux de guidage en ligne droite nont besoin que d'un seul point fixe repose sur une manière de voir erronée. Dans un semblable mécanisme, si Ion ne maintient réellement fixe qu*un seul points ou, pltis exactement, qu'un seul axe, toutes les autres parties cessent d!* exécuter des mouvements déterminés.

Centre momentané de rotation on Pôle. — Polygone régulier.

Les quatre théorèmes précédents constituent la base fondamentale de la phoronomie d'un système de points et sont, à certains ^ards, suffisants. Toutefois, ils ne donnent pas encore une idég nette de la succession des positions relatives. Nous avons donc à examiner de plus près cette dernière question.

Étant données deux positions non parallèles, PQ et P^Q, (fig. 17), d'une figure plane, qui se meut dans son plan, on peut toujours imaginer que l'on passe de l'une à l'autre de ces positions, au moyen d'une

Fig. il.

rotation autour d'un point 0 du plan, qu'on obtient en prenant le point d'intersection des perpendiculaires élevées sur les lignes PPj et QQp en leurs milieux. Ce dernier point est bien le centre de rotation 0, puisque les deux triangles OPQ et OP^Q^ sont congruents.

CENTRE MOMElNTÂ^iÉ DE ROTATION. €7

comme ayant leurs côtés égaux. Le point 0 se nomme le centre momentané de rotation ou le pôlcy pour le changement de position dont il s'agit.

Si l'on cherche, par le même procédé, les pôles momentanés pour une série de changements de position successifs, de Vfi^ cnPjQ,,P5Q,... on obtient une série de points 0, Op 0,, 0,..., qu'on peut relier entre eux par des droites, de manière à former un polygone plan OOjOjO^... (fig. 18), dont les sommets sont les pôles; nous le dési-

Fig. 18.

gnerons sous le nom de polygone polaire. Si, par une série de déplacements, la figure PQ se trouve ramenée exactement dans sa position primitive, le polygone polaire se ferme, tandis qu'il reste ouvert dans le cas contraire; mais la figure, dans chaque cas, accom-> plit une série de rotations autour des pôles; ses points décrivent tous, par conséquent, des arcs de cercle qui se trouvent parfaitement déterminés, lorsqu'on connaît la grandeur des angles qui correspondent aux différentes rotations. Il nous reste maintenant à indiquer le mode de représentation qu'on peut adopter pour faire ressortir les grandeurs de ces angles.

Dans sa rotation autour du point 0, la figure décrit un angle

68 PRINCIPES PHORONOHIQUES.

P0Pj=ç^. Pour représenter plus clairement cette rotation, supposons qu'on relie invariablement PQ à la droite MM^ tracée de telle manière que, le point M coïncidant avec 0, l'angle 0,OMj = (pj et MMi = 00i. Alors, dans la première rotalion, la droite MM^, en tournant autour de 0, passera dans la position 00^ et, comme elle est liée à PQ d'une manière invariable, nous pouvons considérer son mouvement comme remplaçant celui de cette dernière ligne. Si nous appliquons le môme procédé à la rotation autour de 0^ en traçant la droite M,M, =0^0,, de telle manière qu'elle fasse avec 0^0, un angle égal à 9,, lorsque M^ coïncide avec Oj, la figure MM^M, pourra de même être substituée à la figure PQ. En continuant ainsi, nous obtenons un second polygone MM^M^M^... qui, par les rotations successives de ses côtés autour des sommets correspondants du premier polygone, reproduit les changements de position de la figure PQ par rapport au plan fixe, ou par rapport à une figure fixe AB contenue dans ce plan.

Si nous considérons, en même temps, les deux polygones polaires, nous pouvons constater qu'ils présentent cette particularité, tout à fait caractéristique et très-importante, d avoir, Vun par rapport à l'autre, des propriétés complètement identiques, c'est-à-dire d'être réciproques, puisque, dans les différentes positions où deux côtés correspondants des deux polygones viennent à coïncider, ces polygones déterminent aussi bien la position de la figure considérée comme mobile, par rapport à celle qui est fixe, que, inversement, celle de cette dernière par rapport à la figure mobile (Th.IlI du § précédent). Les deux polygones polaires déterminent donc autant de positions relatives des deux figures qu'ils comptent de côtés correspondants.

Trajectoires polaires. — Roulement cylindrique.

Le procédé que nous venons de décrire fournit le moyen de représenter, d'une manière visible, une série de positions données de deux figures mobiles. Toutefois, il ne considère pas les changements de position en eux-mêmes, ou plutôt il se borne à supposer qu'ils consistent en rotations autour de centres distincts. Mais si l'on imagine que les positions, supposées connues, PQ, P^Q^ P,Q,... se rap-

ROULEVENT CYLINDRIQUE. 60

prochent de plus en plus, les unes des autres, jusqu'à ce qu'elles arrivent finalement à être infiniment voisines, le tracé précédent finit par donner une image fidèle de ce qui se passe en réalité. Dans l'hypothèse que nous venons de faire, les sommets des deux polygones polaires se rapprochent également, les uns des autres, et finissent par n'être plus distants que de quantités infiniment petites, de telle sorte que les polygones eux-mêmes se transforment, d'une manière générale, en courbes, dont les côtés infiniment petits, d'égale longueur, viennent coïncider, en exécutant des rotations infiniment petites autour de leurs extrémités ; par conséquent, pendant le changement progressif et continu des positions relatives des deux figures, ces courbes roulent Vune sur l'autre. Chaque point reste alors centre de rotation, non, comme précédemment, pour une certaine période de temps, mais seulement pour un instant^ et constitue, dès lors, ce que nous appellerons un centre instantané de rotation. Les courbes dans lesquelles se sont transformés les polygones polaires sont toutes les deux parcourues, point par point, par le centre instantané de rotation, ou le pôle, et nous pouvons, par suite, les désignfer, d'une manière convenable, sous le nom de trajectoires polaires des figures mobiles. Lorsque ces trajectoires sont connues pour un couple de figures donné, on peut déterminer complètement, par cela même, les mouvements relatifs de ces figures, même pour des positions infiniment voisines ; il suffit évidemment, pour obtenir ce résultat, de faire rouler, l'une sur l'autre, les deux trajectoires.

Il ressort évidemment de ce qui précède que les mouvements relatifs de figures planes ne sont pas, en général, égaux; nous n'avons, en effet, rencontré aucune condition de nature à entraîner comme conséquence la congruence des trajectoires polaires ; il est bien évident, d'ailleurs, que l'égalité a lieu, du moment où cette congruence vient à exister.

i" EXEMPLE. — Les problèmes sur les cycloides sont des exemples de mouvements relatifs de figures planes, dans lesqueU les trajectoires polaires sont supposées données. Lorsqu'un cylindre à base circulaire roule sur un plan, ce sont les sections normales des deux figures qui se meuvent, deux à deux, dans un même plan ; le cercle PQe( la droite A^, quon obtient ainsi , roulent Vun sur l'autre, et sont, par suite, en même temps, les trajectoires polaires des deux figures et des éléments de figures qui peuvent se trouver reliés avec elles. Tous les points de PQ décrivent, par rapport à AB, des cycloîdes, qui sont ordinaires, allongées ou raccourcies, suivant qu'ils se trouvent sur la circonférence, à Vextérieur ou à l'intérieur ; d'un autre dHé, tous le% points qui sont invariablement reliés à la droite AB décrivent, par rapport au cercle PQ, des développantes, lesquelles sont également ordinaires, allongées eu raccourcies, suivant que ces points se trouvent sur la droite, au-dessous ou audessus.

70 PRINCIPES PHORONOHIQUES.

2* EXEMPLE. — Deux cerclet d'égale grandeur, qui roulent Vun eur Vautre, ont des mouvements relatifs identiques ; les points de ces deux cercles décrivent des épicyclcUdeSj qui sont égides pour une même valeur du rayon.

D'une manière générale, les recherches précédentes s'appliquent aux mouvements relatifs de figures planes, situées dans un plan commun, que nous désignerons à l'avenir, par abréviation, sous le nom de figures complanes, et nous pouvons, dès lors, tirer des résultats obtenus la conclusion suivante : Tous les mouvements relatifs de figures œmplanes peuvent être considérés comme des mouvements d& roulement et être complètement déterminés, en ce qui regarde les trajectoires des différents points, dès qu'on connaît les trajectoires polaires correspondantes.

Si, par les figures considérées PQ et AB, on fait passer des corps qui leur soient invariablement reliés, tous les couples de sections planes, faites dans ces corps, parallèlement au plan du mouvement primitif, se meuvent exactement comme ce premier couple de figures, et ont, par suite, des couples de trajectoires polaires tout à fait identiques. Les lieux géométriques de toutes ces trajectoii*es constituent deux surfaces cylindriques, qui sont toujours en contact le long d'une génératrice et roulent l'une sur l'autre. La génératrice suivant laquelle les cylindres se touchent, à un instant quelconque, est, à cet instant, un axe de rotation, et se nomme précisément axe de rotation instantané ou axe instantané du mouvement; le mouvement lui-même prend le nom de roulement cylindrique. Nous pouvons maintenant étendre à ce mouvement relatif, ainsi matérialisé, les propositions établies précédemment pour les figures planes. Un caractère distinctif de toutes les positions mutuelles de corps à roulement cylindrique, c'est que toutes les sections faites normalement à l'axe instantané de rotation fournissent des figures qui, dans le mouvement, sont toujours complanes. Nous sommes, par suite, conduits à la conclusion suivante : Tous les mouvements relatifs de deux corps qui se meuvent de telle sorte que les sections faites parallèlement à un mêfne plan restent toujours complanes peuvent être considérés comme des roulements cylindriques, et les trajectoires de leurs différents points peuvent être déterminées, du moment où Von connaît les cylindres des axes instantanés correspondant à ces corps.