RECHERCHE DES TRAJECTOIRES POLAIRES

Recherche des trajectoires polaires.

Lorsqu'on passe, comme précédemment, du mouvement discontinu au mouvement continu, les perpendiculaires, élevées primitivement sur les lignes de jonction des positions consécutives P et P^ Q et Qp deviennent les normales aux éléments de courbes que parcourent les points P et Q, à chaque instant considéré. Si donc on veut pouvoir déterminer la trajectoire polaire du mouvement d'une figure PQ, par rapport à une autre figure AB, il est nécessaire de connaître, pour chaque position de PQ, la direction du mouvement de deux de ses points, au moins, c'est-à-dire la position des tangentes respectives aux deux courbes parcourues par ces points. Les normales menées aux éléments de ces courbes ne se coupent qu'en un seul point. Il en résulte que, pour chaque mouvement relatif de figures complanes\ il n'existe qu'un seul couple de trajectoires polaires.

La détermination des trajectoires polaires peut m faire en opérant point par point, ou, dans certains cas, en s*appuyant sur des considérations générales qui permettent de reconnaître immédiatement le genre de courbes auquel appartiennent les trajectoires cherchées. Nous allons examiner brièvement ces deux procédés.

Supposons connue la relation qui existe entre les mouvements mutuels de deux figures complanes PQ et AB. Pour arriver à pouvoir tracer les trajectoires polaires correspondantes, commençons par transformer le mouvement relatif donné en i(n mouvement absolu pour nous, en communiquant à tout le système un mouvement égal et contraire en direction à celui de l'une des figures, AB par exemple, fig. 19, de telle sorte que pour nous cette figure passe au repos. Traçons ensuite les courbes sur lesquelles se meuvent deux points P et Q, et menons les normales à ces courbes aux points P et Q ; leur point d'intersection 0 sera un point de la trajectoire polaire correspondant à AB ; un autre couple de normales, élevées aux points P^ et Q^ fournira un second point 0^ de cette trajectoire, et ainsi de suite. La détermination de la seconde trajectoire polaire OM^ peut se faire absolument de la même manière,

72 PRINCIPES PHORONOHIQUES.

c'est-à-dire en faisant passer la figure PQ au repos et en mettant la figure AB en mouvement. Le plus souvent, on peut arriver au même résultat d'une manière plus rapide, en se basant sur la remarque suivante. Dans la position P^Q^, le pôle 0^, qui est alors commun aux deux trajectoires polaires, est à la distance P^O^ de la position

Fig. 10.

V^ du point P, et à la distance Qfi^ de la position Q^ du point Q ; si donc des points P et Q, comme centres, avec des rayons respectivement égaux à Vfl^ et Qfi^^ on décrit deux arcs de cercle, Tun des points d'intei*section de ces arcs fournira le point M^ de la seconde trajectoire; il est, d'ailleurs, facile de distinguer celui des points d'inlersection qui doit être choisi, en tenant compte des angles en P, et Q,.

!•' EXEMPLE. — Supposons quil i agisse de trouver les trajectoires polaires pour la chaîne cinématique (fig. 20), dont il a déjà été question au § 3 ; diaprés sa corn-

Jig. 20.

postlion même, cette chaîne ne peut donner lieu qu'à des mouvements complans et cst^ par suite, de nature à fournir un exemple très-convenable dans le cas actuel.

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Comme chacun dft membre» at mobile, par rapport aux trou autra, nom auront iâ tix couple* de trajeelotret potairet, dont quatre te rapportent aux membret ad~ jacentt el Ut deux aîdret aux membret oppotéi. Let quatre premiert tont trèt-timplet, puisque chacun d'eux te réduit à un point; quant aux deux aulret, au contraire, on ne let aperçoit put immMiatemenl. Propotont-nout de chercher d'abord le couple de trajecloiret polairet corretpondant au mouvement relatif det deux membret a — h tt A — e. Dant ce bul, commençont par rendre le membre a — h immobile, en le reliant à un tupport fixe, comme, par exemple, dant la figure 31. Le membre a— d lotane alort autour du point a, en décrivant un cercle, tondit que le membre e — h otcille autour du point h, en décrivant timplement un arc de cercle. Let cenlretdet ilémentt en c etl parcourent donc det trajecloiret dont let normalet tont toulet det rayant pattanl retpectivemenl par let centra a et h En prolongeant cet rayant jutqu'à leur point (finlertection, nou* obtenant, par tuile, pour chaque potition, un point de ta trajectoire polaire corretpondant au membre fixe a — h. Cette trajectoire etl repréirntée par la Gg. 23. 0 ou H ett le pôle corretpondant à la potition initiale a — d — e— h; il ett donné par la prolongation de a — deih— e, jutqu'à leurrencon' Ire. La figure, ainti obtenue, 00,U,...0, ett loin d'avoir une forme ùmple; elle a

iptalte de le* point* à unedittance infinie el qui corretpondent aux potition» paroilèUt de a — d el e — h. Lateeondc trajectoire polaire, relative au membre d— e el

PRINCIPES PUOROMOUIQUES.

obtenue par le procédé indiqué précédemment^ est représentée en MMiMj|...M5; elle a aussi nécessairement quatre points à V infini. Les deux trajectoires polaires^ qui, dans le dessin, sont tangentes en OM, roulent ï*une sur l' autre j quand le mécanisme est en mouvemetitj OO4...O, restant fixe; elles fournissent tous les éléments nécessaires pour V étude du mouvement, d* ailleurs assez compliqué, du membre d — e. Au point de vue de la possibilité d'embrasser d'un coup d'œil les phénomènes, cette

Fig. Î2

représentation phoronomique laisse à désirer ; V existence de points à V infini est surtout de nature à nuire à la clarté. Toutefois, il importe de remarquer qu'il ne s'agit pas ici principalement d'arriver à une solution plus ou moins facile à saiMy^ et celle^ que nous avons obtenue est, avant tout, une solution véritable et complète du problème. Nous montrerons plus tard de quelle manière on peut parfois, même daris let cas les plus compliqués, arriver à de très-grandes simplifications.