RECHERCHE DES TRAJECTOIRES POLAIRES

2* BiKMpLB. — Un exemple irèS'ihnple de la déUrmination de trajectoires polaires, basée sur des considérations générales^ nous est fourni par les roues dentées cylindriques ouy plus généralement, par deux corps qui tournent autour de deux axes parallèles, de distance constante ^ avec un rapport de vitesses invariable. Soient a et h (fig. 23) deux sections complanes de ces corps, cetdles deux centres de rotation; si nous supposons d* abord que a reste fixe, le point d devra se mouvoir autour du point c, en décrivant une circonférence, puisque la longueur cd est invariable; pendant le même temps, b devra également tourner autour du pôle encore inconnu. Mais, comme la normale à la trajectoire de d coïncide avec la ligne des centres, le pôle devra se trouver sur cette ligne ou sur son prolongement. Admettons, pour un instant, que ce pôle soit en 0 et maintenons fixe la ligne des centres cd ; a et b reprendront alors leurs mouvemetits de rotation et les trajectoires polaires, toutes les deux mobiles, roulant Vune sur l* autre en G, auront, par suite, en ce point, des vitesses tangentielles égales ; quant à leurs vitesses angulaires, elles seront entre elles dans le rapport dO : cO. Mais, comme, par hypothèse, ce rapport doit être constant, il en

Fig. «.

résulte que dO et cO doivent eux-mêmes être constants ; d'oU Von conclut que les trajectoires polaires sont deux cercles, décrits des points cetd, comme centres, avec des rayons inversement proportionnels aux vitesses angulaires des deux corps. On voit, if après cela, que les cercles primitifs des engrenages cylindriques ne sont pas autre chose que les trajectoires polaires des sections normales. — Nous rencontrons donc ici un cas dans lequel les trajectoires polaires sont particulièrement simples, tout en se prêtant, pour la construction des machines, aux applications les plus étendues*^

7G PRINCIPES PHORONOXIQUES.

Réduction des trajectoires polaires.

Le couple de trajectoires'polaires que nous avons trouvé dans le premier exemple du paragraphe précédent contient la représentation complète du mouvement relatif entre les membres d — e et a — h de la chaîne cinématique considérée, et, pour cette raison, doit pouvoir également servir, quand la fixation de la chaîne, pour former un mécanisme, est différente de celle que nous avons supposée. De cette chaîne on peut, en effet, tirer un autre mécanisme assez remarquable, en rendant fixe le membre b — c; ce mode de fixation est le premier de ceux que nous avons indiqués précédemment (page 51). Dans le mécanisme qu'on obtient ainsi et qui est représenté par la figure 24, les membres a — A et d — e décrivent tous les deux des cercles, en se conduisant Tun l'autre par l'intermédiaire du membre f — g. C'est là ce qu'on appelle le joint à genoux (kniekupplung) . Les bras ou manivelles, d — e et a —h, présentent, dans leur mouvement de rotation, un rapport de vitesses angulaires variable, pour chaque position du mécanisme, avec les longueurs des rayons vecteurs correspondants des trajectoires polaires, et qui peut, par suite, être déterminé d'après ces longueurs. Si nous supposons, en effet, les trajectoires de la figure 22 rapportées aux bras correspondants, nous voyons qu'elles tournent toutes les deux autour de points fixes a etd, enroulant, l'une sur l'autre, exactement comme les contours primitifs d'un couple de roues dentées à sections non circulaires (10). Toutefois, en raison de la forme particulière des deux trajectoires polaires, ces conséquences sont assez difficiles à apercevoir à la simple inspection, et il est désirable d'obtenir un mode de représentation plus clair, notamment en ce qui regarde le rapport des vitesses angulaires des deux bras. Pour arriver à ce résultat, imaginons une roue dentée cylindrique reliée à l'un des bras, d — e, par exemple, et engrenant avec une autre roue dentée égale, montée sur un troisième axe k ; en vertu de cette liaison, ce troisième axe tournera exactement avec la même vitesse angulaire que le bras d—e, mais en sens contraire. Si nous supposons maintenant qu'on détermine les trajec-