REDUCTION DES TRAJECTOIRES POLAIRES

trajectoires n'ont plus de points à Tinfini et le tracé graphique, devenu extrêmement simple, présente de grands avantages à divers points de vue.

Les points à distance infinie peuvent, dans certaines circonstances, être encore plus embarrassants que dans le cas précédent, où, grâce aux asymptotes, ils restent, à la rigueur, utilisables dans une certaine mesure. Ainsi, par exemple, si, dans le mécanisme précédent, on vient à donner aux membres opposés la même longueur {fig. 26), les lignes moyennes des quatre bras se trouvent ïormcv un parcUlélogramme ; les prolongements de ces lignes ne se rencontrent plus alors qu'à Tinfini, de telle sorte que les deux ira-jectoires polaires deviennent des courbes infiniment grandes^ quHl est impossible de tracer, La méthode de réduction, dont nous venons de faire usage, fournirait, au contraire, dans ce cas, deux cercles tangents de même diamètre. Mais nous pouvons ici réaliser un mode de représentation encore plus intelligible. Dans ce but, des points a et /*, comme centres, avec un rayon plus petit que la moitié

Fig. 26.

de la distance de ces centres, décrivons deux cercles égaux et menons-leur une tangente extérieure ik. Si nous laissons maintenant cette droite rouler sans glissement sur les deux cercles, pendant que ceux-ci tournent autour des centres a et /*, il est évident que les cercles i et k se trouvent avoir exactement le mouvement qui résulterait de la liaison des bras du parallélogramme, c'està-dire qu'ils tournent tous les deux dans le même sens et avec un

80 PRINCIPES PHOROMOMIQUES.

rapport de vitesses angulaires constant et égal à Tunité. L'ensemble de ces trois trajectoires polaires, auxquelles nous venons de ramener les trajectoires primitives, infiniment grandes et non susceptibles d'être tracées, se trouve exprimer ainsi, d'une manière complète, la loi du mouvement qu'il s'agissait de représenter.

Nous pouvons, d'ailleurs, imaginer ces trajectoires réalisées effectivement et appliquées simultanément avec les trajectoires primitives. Comme elles secondent, en quelque sorte, le mouvement qui se produit, on peut les désigner sous le nom de trajectoires polaires secondaires. Dans le cas actuel, elles ne constituent pas un couple, mais un terne de figures correspondantes ; c'est là une chose digne d'être remarquée, puisque, d'après ce que nous avons vu précédemment (g 8), il n'existe qu'un seul couple de trajectoires polaires pour chaque mouvement relatif de figures complanes. Cette propriété de la représentation secondaire de donner lieu à plus de deux figures n'est pas limitée à quelques cas particuliers ; elle est, au contraire, tout à fait générale.

Les trajectoires polaires secondaires peuvent également rendre des services dans les cas où les trajectoires polaires, tout en étant faciles à tracer, exigeraient, pour le dessin, de trop grandes dimensions ; c'est ce qui arrive, par exemple, pour un couple de corps tournant dans le même sens, avec un rapport de vitesses angulaires constant et différent de l'unité. Dans ce cas, on obtiendrait, pour trajectoires polaires des circonférences tangentes, l'une à l'intérieur de l'autre; les trajectoires polaires secondaires du genre précédent

Fig.îJ.

sont des circonférences dont les diamètres sont dans le même rapport que ceux des trajectoires primitives et qui permettent de déterminer immédiatement la position de la tangente ik (fig. 27). Les trajectoires secondaii^es sont également applicables au cas des^

ROTAnON AUTOUR D'UN POINT. 81

corps tournant en sens contraire, avec un rapport de vitesses constant; la tangente ik {fig. 28) est alors tangente m^^ieure aux deux cercles polaires secondaires.

Fig. 28.

Dans certaines méthodes en usage pour la détermination des profils des dents d'engrenages, ces trajectoires polaii'es secondaires (11) se trouvent jouer parfois un rôle assez important; nous les trouvons donc déjà introduites dans les méthodes de la construction des machines, et, par conséquent, nous pouvons dire que nous avons pu ramener aux principes généraux de la phoronomie un procédé d'un usage assez répandu dans la pratique.

Rotation autour d'un point.

Dans ce qui précède, nous avons indiqué, aussi clairement que possible, le mode général de représentation du mouvement relatif dans le plan ; nous devons maintenant aborder un problème plus difficile, celui du mouvement relatif dans l'espace^ en limitant tout d'abord notre étude au cas où l'un des points du corps à considérer reste pour nous immobile dans l'espace. Loi*squ'un corps se meut de telle manière que chacun de ses points se trouve toujours à la même distance d'un point fixe, on dit que le corps tourne au-

MULBAOX, CmiMATXQUB. 6

Fig. S9.

9% PRINCIPES PHORONOHIQUES.

tour de ce point. Pour arriver à connaître les phénomènes des mouvements relatifs qui se produisent dans ce cas, comme mouvements relatifs du corps, par rapport à un autre corps en repos^ relié au point fixe A, décrivons de ce dernier point, comme centre, une

sphère d'unegrandeurtelle, qu'elle vienne couper le corps en mouvement (fig. 29).

Si nous connaissions le mouvement sur la sphère de la figure sphériquePQ, fournie par cette section, le mouvement du corps luimême serait évidemment connu.

Mais le mouvement de la figure se trouve déterminé, lorsqu'on connaît toutes les positions de deux de ses points P et Q, ou celles de l'arc de grand cercle qui les réunit, >^ puisque de ces dernières positions on peut toujours déduire celles i de tous les autres points de la figure, en considérant chacun d'eux comme le sommet d'un triangle sphérique, dont on connaît les longueurs des trois côtés, en même temps que la position de la base PQ. C'est donc, en définitive, à l'étude de l'arc de grand cercle PQ, au point de vue de son mouvement, que se trouve ramené le problème du mouvement relatif d'un corps autour d'un point fixe. Nous trouvons, d'ailleurs, ici le moyen d'introduire une simplification analogue à celle que nous avons déjà appliquée à l'étude du mouvement dans un plan et qui consiste à remplacer chaque figure sphérique par un arc de grand g cercle qui s'y trouve contenu. Toute figure sphérique PQ (fig. 30), qui se meut sur la surface de la sphère à laquelle elle appartient peut toujours v être amenée de l'une de ses positions PQ à une autre P^Qj , au moyen d'une rotation sphérique autour d'un point 0 de la surface de la sphère, point qu'on détermine en élevant sur les milieux des arcs de jonction PP^ et

Fig. 50.