YIRATION ET ROULEMENT DE SURFACES RÉGLÉES

sion d'axes, il parait naturel de les désigner sous le nom à'axoïdeê^ Nous sommes, dès lors, conduits à résumer dans la proposition suivante les résultats que nous avons obtenus : Tous les mouvements relatifs de deux corps peuvent être considérés comme des mouvements de viration ou de roulement de surfaces réglées ou d'axoîdes.

De ce théorème général peuvent se déduire, avec des réductions et des simplifications convenables, tous ceux que nous avons trouvés précédemment pour des cas particuliers. En fait, il n'est pas difficile dlmaginer qu'une surface réglée se réduise à un cOne ou à un cylindre ; dans ces deux cas, au lieu d'un mouvement de viration, il se produit un simple mouvement de roulement. Toutefois, il convient de ne pas aller jusqu'à en conclure que les mouvements de pur roulement doivent être attribués uniquement à l'un ou à l'autre de ces cas (comme, à ma connaissance, on l'a admis jusqu'ici) . La condition de l'absence de glissement le long des génératrices n'est pas, en effet, que ces génératrices se coupent toutes en un même point, comme dans le cdnc, ou qu'elles soient toutes parallèles, comme dans le cylindre ; c'est une condition d^ordre plus élevé, consistant en ce que les surfaces réglées doivent être d*une nature telle, que leurs séries de génératrices inûniment voisines comprennent, pour des positions homologues, des surfaces de même forme ; en d'autres termes, suivant l'expression admise par les géomètres, ces surfaces réglées doivent être développables l'une sur l'autre.

Une surface conique est dévcloppable sur une autre surface conique, de même qu'un cylindre l'est sur un cylindre, parce que les petites bandes de surface, comprises entre deux génératrices infiniment voisines, se trouvent éprouver, pour les positions homologues, des variations identiques. Il résulte de là que, d'une manière générale, des figures à surfaces réglées peuvent également rouler Tune sur l'autre, du moment où leurs surfaces satisfont simplement à la condition d'être développables l'une sur l'autrc. Ainsi, par exemple, deux surfaces hélicoïdales, construites de manière à satisfaire à cette condition et convenablement disposées, comme dans la figure 32, peuvent rouler l'une sur l'autre ; la même chose peut avoir lieu pour une surface hélicoïdale et un hyperboloïde (fig. 33). Des surfaces de ce genre sont, en réalité, employées dans la construction des machines*, de telle sorte que les questions traitées ici se

* F. par ex. Johnson's Impérial Cyclopcediaj Ste«m Engine, Hoisont Regulator,p. M.

88 PRINCIPES PUORONOnODBS.

Irouvent présenter autant d'intérêt pour les praticiens que pour les

théoriciens.

La construction des machines fait également usage de surfaces réglées ayant, l'une par rapport à l'autre, un mouvement de viralion; tels sont, par exemple, les axoîdes des engrenages byperboloïdes, que représente la figure 34; dans les roues hélicoïdales à axes obliques, ces axoîdes restent inexécutés, bien qu'ils représentent toujours le mouvement relatif de ces roues.

Le cadre de nos recherches ne nous permet pas de traiter ici, d'une manière systématique, tous les axoîdes possibles d'or- '*■ dre supérieur, et nous nous

bomeroas â résoudre une dernière question générale, en i-echer-

TIRATIOH ET ROOLBKENT 0E SURFACES RÉGLÉES. SB

chant si les surfaces réglées, quel que soit leur mouvement, une viration ou un simple roulement, ne possèdent pas encore quelque propriété commune, caractéristique, susceptible d'être utilisée pour tous les cas particuliers. Il existe, en effet, une propriété de ce genre, comme il est facile de le démontrer.

Si par les points homologues de deux axoîdcs correspondants on mène des plans normaux aux génératrices de contact, tous ces plans détermineront, dans chaque axoïde, une surface enveloppe dont les éléments, dans le voisinage immédiat des génératrices de contact, sont précisément normaux à ces génératrices. Pour le cftne ordinaire, celte surface porte le nom de cône complémerUaire

(voy. H S, fig. 35), et, pour le cylindre, celui do base; dans l'hyperboloîde de rotation (où elle est un cône H J, ftg. 36) , je lui ai également donné le nom de «Sne com^ïïrfm^wfaire '. D'une manière générale, nous pouvons désigner cette surface enveloppe sous le nom de surface complémentaire de la surface réglée. — Si nous supposons cette surface exécutée pour chacun des deux axoïdes correspondants, nous obtiendrons, sur chacun d'eux, une ligned'inlersection entre la surface complémentaire et celle de l'axoide ; cette Hgne, qui, dans le cône ordinaire, le cylindre et l'hyperboloîde de rotation, est une circonférence, dans la surface hélicoïdale, une hélice, etc., constitue ce que, d'une manière générale, nous appellerons le contour complémentaire de l'axoide. Si l'on imagine maintenant qu'on projette les contours complémentaires de deux axoides sur un plan normal à la ligne de contact, on obtient deux figures qui, dans le mouvement du pâle, se touchent constamment par de

' V.Lt Cmutnuttur, de Reuleaui, i'* Mitioa fraittiM, p- 468.

90 PRmaPES PHORONOMIQUES.

nouveaux éléments et de telle manière qu'au point de contact passent toujours, en même temps, des longueurs égales de chaque courbe ; en d'autres termes, les deux courbes de projection roulent l'une sur Tautre. — Lorsque les axoîdes sont des hyperboloîdes normaux (fig. 34), ces courbes de projection sont des ellipses ; dans le cas de la figure 32, elles sont les projections de deux]hélices, c'està-dire ce qu'on peut appeler des cycloïdes elliptiques (12) . Enfin, dans le cas de la fig. 33, le couple des figures de projection comprend une cycloîde de ce genre et une ellipse. Nous pouvons, dès lors, compléter définitivement le théorème précédent de la manière suivante : Les virations de surfaces réglées^ auxquelles on peut ramener les mouvements relatifs les plus généraux de deux corps ^ ont lieu de telle sorte qus les projections des contours complément taires des axoîdes sur un plan normal à Vaxe instantané roclekt l'une sur l'autre.

Ce théorème ramène tous les itiouvements qui se produisent dans la machine à une idée fondamentale, d'où découlent les diverses propositions qui correspondent à des applications spéciales. A l'imitation du philosophe de l'antiquité qui assimilait au courant de l'eau dans un fleuve la transformation continue et successive des choses et la résumait dans cet axiome : « Tout coule^ » nous pouvons, nous aussi, renfermer dans une seule phrase les nombreux phénomènes du mouvement qui se manifestent dans la machine, cette merveilleuse production de l'esprit humain, et dire avec non moins de concision : a Tout roule. » Dans toute n!achine, cette loi fondamentale du roulement, qu'elle soit apparente ou cachée, préside aux mouvements relatifs des différents organes, puisqu'on peut considérer le glissement en ligne droite comme un mouvement de roulement sur des lignes situées à une distance infinie. On peut même, ainsi que nous avons déjà eu l'occasion de le dire précédemment, étendre cette conception à tous les mouvements cosmiques; les considérations que nous avons présentées ne sont, en effet, en aucune façon, limitées aux déplacements qui ont lieu dans les machines et elles sont applicables, d'une manière générale, à tous les corps en mouvement.

Toutefois, il importe de remarquer que les figures géométriques de roulement que nous pouvons construire pour les corps du système du monde ne sont pas permanentes ; elles participent à « l'écoulement » général, et éprouvent, comme les phénomènes euxmêmes, des changements continuels, soit qu'elles arrivent à dis-

YIRATION ET ROULEHBNT DE SURFACES RÉGLÉES. 91

paraître, soit qu'elles se transforment en d'autres figures, de forme également variable, qu'on ne peut arriver à déterminer exactement, à chaque instant, qu'au point même de roulement.

Aussi les mouvements planétaires doivent-ils être considérés comme ne présentant qu'approximativement ce caractère de permanence qui seul est compatible avec une représentation rigoureuse au moyen d'axoides. Dans la machine, au contraire, par suite de la limitation artificielle des mouvements, les figures roulantes se trouvent conserver une forme constante, ou, du moins, on cherche à la leur assurer de toutes les manières possibles ; en d'autres termes, cette permanence de forme des figures i*eprésentatives des mouvements, dans la machine, est considérée comme un principe, auquel on s'efforce de satisfaire, et nous pouvons admettre ici qu'elle se trouve réalisée.

Dans la machine, les figures représentatives exécutent indéfiniment leurs mouvements relatifs, en repassant périodiquement par les mêmes positions ; elles s'arrêtent avec la machine, mais reprennent invariablement leurs fonctions, dès que la force motrice vient redonner la vie à tout l'ensemble ; la seule des parties de la machine qui reste constamment au repos est celle qui sert à relier les parties mobiles au système fixe de l'espace.

Pour le mécanicien pratique qui s'est familiarisé avec la nouvelle phoronomie et, plus encore, pour le théoricien, la machine apparaît donc comme vivifiée, d'une manière particulière, par ces figures géométriques dont les roulements représentent les mouvements relatifs des divers organes. Quelques-unes de ces figures prennent, pour ainsi dire, une forme matérielle, et leurs roulements se produisent en réalité ; c'est ce qui arrive, par exemple, pour les poulies, les roues de friction, les roues de chemins de fer, etc.; d'autres, comme celles des roues dentées, sont moins nettement perceptibles ; elles restent, en quelque sorte, masquées par un léger treillis ; viennent ensuite celles qui sont étroitement concentrées dans l'intérieur des corps correspondants, dcuit la forme extérieure laisse à peine soupçonner leur existence ; telles sont, par •exemple, les figures roulantes des excentriques, des arcs circulaires et autres mécanismes analogues, avec lesquels nous ferons ultérieurement plus ample connaissance ; enfin, il en est d'autres qui, comme celles des mécanismes constitués par des bielles et des manivelles, sont des figures à branches infinies, qui ne se trahissent à l'extérieur par aucun signe susceptible de les faire recon-

9S PRINCIPES PHOROKOHIQUES.

naître. C'est donc, suivant les cas, avec les* yeux du corps ou ceux de l'esprit que le cinëmaticien voit toutes ces figures remplir, sans fatigue, leurs singulières fonctions et exécuter silencieusement leurs évolutions, au milieu du bruit, parfois assourdissant, des organes matériels qui leur correspondent. Elles constituent, en quelque sorte, Tàme de la machine, commandant aux manifestations extérieures du mouvement de celle-ci et les mettant nettement en lumière. Elles sont, en un mot, l'abstraction géométrique de la machine et elles lui donnent une signification d'un caractère plus profond, ce qui doit naturellement avoir pour résultat d'intéresser notre esprit infiniment plus qu'il ne serait possible de le faire sans cela.