CHAPITRE III

ii4.

Des différentes espèces de couples d'éléments.

Dans la solution générale du problème des machines, nous avons trouvé que les organes élémentaires, ou ceux qu'on doit désigner comme tels, ne se trouvent jamais employés isolément^ mais toujours par couples, et que, par conséquent, au point de vue cinématique, une machine doit être considérée comme composée, non d'éléments, mais de couples d'éléments. C'est la forme géométrique de ces couples que nous devons, avant tout, chercher à connaître.

En limitant tout d'abord nos recherches aux corps solides, c'està-dire à ceux qui peuvent être considérés comme sensiblement rigides, le premier problème que nous ayons à résoudre, pour la construction des couples d'éléments, consiste à déterminer, au moyen de deux corps seulement ou de deux éléments, un mouvement donné ou imposé. Conformément aux conditions exposées précédemment, ces éléments doivent satisfaire aux conditions suivantes :

l"" L'un des éléments doit être maintenu immobile par rapport au système de l'espace considéré comme fixe ;

2^ ce même élément doit être disposé de manière à contenir la forme enveloppe des positions de l'autre élément supposé mobile ;

3* cette forme enveloppe doit être telle qu'elle empêche le second

élément de prendre un mouvement quelconque, en dehors de celui qui est imposé.

L'élément immobile doit donc, en quelque sorte, maintenir l'autre élément prisonnier, en lui défendant tous les mouvements, à l'exception d'un seul, et en le contraignant j par suite, lorsqu'il y a mouvement, à décrire, par ses différents points, des trajectoires déterminées. Il en résulte que ces éléments constituent ce qu'on peut appeler un couple desmodromique (15). Si l'on considère maintenant que le mouvement relatif de deux corps peut, ainsi que nous l'avons vu dans le chapitre précédent, affecter une grande variété de formes, il est facile de comprendre que, pour un couple d'éléments desmodromique, il peut se présenter un très-grand nombre de formes géométriques. Tous les couples de formes géométriques, qui satisfont aux deux dernières des conditions précédentes, ont, comme propriété commune, d'être des formes enveloppes^ et précisément des. formes enveloppes réciproques, pour les mouvements relatifs donnés (qu'on peut représenter au moyen d'axoîdes) . Ils peuvent, par suite, de même que les axoîdes correspondants, être plus ou moins simples. U est évident, d'ailleurs, que le^ deux conditions se trouvent également satisfaites, lorsque l'un des éléments, au lieu d'envelopper simplement l'autre, Vemboîte complètement, c'est-à-dire se trouve en être la matrice , la forme en creux; dans ce cas, les formes des deux éléments sont géométriquement identiques. Un couple de ce genre constitue ce que nous pouvons appeler un couple d^ emboîtement.

Il est évident que les couples d'emboîtement se distinguent essentiellement, par leur simplicité, de ceux dont les éléments n'ont pas une forme identique. U parait, dès lors, naturel de les séparer de ces derniers et de les étudier en premier lieu.

8 15- Recherche des couples d'emboîtement.

Les propriétés des formes matérielles qui peuvent être utilisées pour l'établissement des couples d'emboîtement sont d'une nature si caractérisée, que nous n'avons pas besoin de commencer par rechercher ces couples dans la pratique des machines, et que nous pouvons nous proposer de les déterminer à priori.

RECHERCHE DES COUPLES D'ENBOlTEHEnT. 95

Deux corps constituant un couple d'emboîtement coïncident complètement sur toute l'étendue des surfaces en contact, de telle sorte qu'il est possible de tracer, sur ces surfaces, une infinité de courbes, qui se recouvrent entièrement deux à deux ; parmi ces courbes, il convient de distinguer celles qui se trouvent avoir précisément la direction suivant laquelle se produit le seul mouvement possible et qui, par cela même, doivent glisser Tune sur Vautre. Considérons séparément un couple de ces courbes de glissement qui correspondent respectivement aux deux éléments, et supposons qu'on les fasse glisser l'une sur l'autre, sans cesser de les faire coïncider. Par les points A et A' de ces deux courbes {(ig. 37), faisons passer

un plan osculateur et deux systèmes d'axes de coordonnées homologues XYZ et X'Ï'Z'. La propriété de l'emboîtement et du glissement consiste en ce qu'un élément de courbe AB est toujours congruent avec l'élément A'B', de même longueur, quelle que soit la position de A' sur la courbe, et que, par conséquent, AB coïncide avec A'B', quand A est amené en A', B en B', et X en X'. En d'autres termes, la condition de l'emboîtement, pendant lemouvement, est remplie, lorsque les deux courbes de glissement satisfont à la relation:

ou lorsque y^y-. pour a:=aret

%=:i'. D'une manière générale, cette condition ne se trouve satis-

faite que par Vhélice cylindrique ou normale. D'après cela, la vis ordinaire et son écrou constituent un couple d'emboîtement {fig. 38.) Toutefois, la forme de la vis n*est pas ici complètement indifTérente, puisque, d'après la troisième condition, il ne doit jamais se produire qu'un mouvement unitfucy lequel ici doit être dirigé suivant rhélicc. Les filets de la vis et de l'ècrou doivent, d'après cela, avoir un profil tel que tout mouvement normal à l'hélice soit rendu

Fig. 39.

impossible. C'est ce qui a lieu, quand le profil normal à l'hélice de glissement, c'est-à-dire le profil de la surface hélicoïdale complémentaire^ est conformé de manière à présenter des parties dirigées en sens opposés, les unes des autres, ainsi que l'indique, de plusieurs manières, la figure 39.

Comme V emboîtement emipèchetout mouvement relatif et que des profils analogues aux précédents rendent impossibles tous les mouvements transversaux, par rapport à Thèlice de glissement, il ne reste, en définitive, de possible que le mouvement suivant cette hélice elle-même. Nous n'avons pas besoin de rappeler que les filets employés pour les vis de fixation et pour les autres usages sont exécutés avec de semblables profils. Si l'on employait, comme génératrice de la surface du filet, une portion de droite parallèle à Taxe de la vis et d'une longueur supérieure à son pas, on obtiendrait bien encore, à la rigueur, une vis ; seulement, la forme extérieure de cette vis se confondrait avec la surface d'un cylindre ordinaire, et la surface complémentaire aurait pour profil une hélice ordinaire. Dans le couple d'éléments ainsi engendré, il n'y aurait d'empêché que le mouvement relatif dans le sens d'un rayon ; mais ce couple ne serait nullement desmodromique pour tous les autres mouvements.

Ce couple d'emboîtement constitué par une vis ordinaire convenablement profilée et par son écrou ^ nous pouvons maintenant l'examiner de plus près, au point de vue de ses valeurs variables, qui sont le rayon ou le paramètre et Y angle d'inclinaison correspondant.

En faisant varier le rayon, nous n'obtenons aucune forme nouvelle ; la forme typique de la vis n'est en rien modifiée.

HECUERCHli DES COUPLES D'EHBOlTtHIHT. 97

Le résultat est tout différent avec l'angle d'inclinaison. Si l'on fait décroître graduellement cet angle, le pas, pour un même point du rayon, devient de plus en plus petit. Lorsque cet angle arrive à zéro, le pas devient également nul et;le profll de la vis décrit alors une surface de rotalion. La vis complémentaire se trouve posséder un angle d'inclinaison de W, eU par suite, le profil de sa section vient coïDcider avec le profil générateur du corps de rotation ; le résultat est donc un couple de corps de rotation s'emboUant, dont le profU axial, ou le méridien, ne permet aucun déplacement dans la direction de l'axe. La ligure 40 représcnle, comme exemple, un couple de ce genre, dans lequel l'écrou, transformé en corps de rotation, est figuré en coupe ; l'unique mouvement qu'il peut prendre est un mouvement de rotation.

Si, au contraire, on fait croître l'angle d'inclinaison, la vis s'allonge de plus en plus, et lorsque cet angle atteint 90°, les arêtes

des filets deviennent parallèles à l'axe; la vis se trouve alors transformée en un prisme plein et l'écrou en un prisme creux, qui emboîte le premier. La surface hélicoïdale complémentaire, dont l'inclinaison esl, en même temps, devenue nulle, se trouve transformée en une section droite du prisme, en supposant, d'ailleurs, toujours maintenue la condition d'un profil susceptible d'empêcher tout mouvement transversal, c'esl-à-dire d'un proiil qui, dans le cas actuel, ne soit pas circulaire. Le résultat qu'on obtient définitivement est donc : un couple de prismçs s'emboUant, dont le profil normal ne permet pas une rotalion autour de l'axe commun (voy. fig. 41). Le seul mouvement possible du piisme creux est un glissement le long des arêtes du prisme plein.

En continuant à faire varier l'angle d'inclinaison au delà de la Ihnite précédente, on n'arrive à aucun résultat nouveau ; il est vrai que ai l'on fait croître cet angle au delà de 90", on passe d'une vis à droite à une vis à gauche, -ou inversement, . mais on a toujours une vis. Nous n'avons, d'ailleurs, pas fait jusqu'ici une seule hypo* thèse sur le sens de l'incUnaispo.

Il résulte de là que le pi-oblèiQe des couples d'emboitement se

M COUPLES D'ËLËHESTS.

trouve maintenant résolu d'une manière complàle. Les trois formes auxquelles nous sommes arrivés, bien qu'elles puissent à la rigueur être rangées toutes les trois sous la dénomination générale de vis, méritent cependant d'être considérées à part, et nous proposons, par suite, de distinguer trois couplet d'emboîtement, qui, pour les résumer rapidement, sont :

1* La vis ordinaire avec son écrou; 2° Le corps de rotation avec sa forme en craus ;

5" Le prisme plein avec son prisme creux.

Tous les trois étant, d'ailleurs, supposés pourvus de profils complémentaires susceptibles d'empéchcr ce que nous avons appelé le mouve- Pj ^, mcnl transversal, ces couples per-

mettent de réaliser trois espèces de mouvements desmodromiques, correspondant respectivement à des trajectoires hélicoïdales, circulaires et rectilignes.

La mécanique pratique connaît parfaitement ces trois couples, qu'elle utilise dans de nombreuses circonstances : le couple vis, pour des fixations et pour certains mouvements spéciaux, le couple de corps de rotation, ou de rotoïdes, pour les tourillons, les supports et autres organes analogues, le couple de prismes, pour le guidage des mouvements rectilignes de tout genre. La propriété du profil complémentaire d'empêcher les déplacements transversaux peut lui être communiquée de plusieurs manières dilTércntes. Pour les arbres à mouvement de rotation, par exemple, les parties du profil complémentaire destinées à produire ce résultat se trouvent portées par les-congés, les collets ou les épaulemcnts des tourillons. Dans le cas où l'on doit établir un couple de corps de rotation sur un arbre complètement cylindrique, on peut recourir, pour compléter ce couple, à l'addiliun de bagues d'arnt, avec vis de pression, comnle l'indique la figure 42. En raison des facilités que présente le tour pour la préparation des surfaces cylindriques, il arrive assez souvent qu'on commence par établir des surfaces de ce genre, et qu'on les transforme ensuite on prismes par l'addition de rainures et de languettes (fig. 43). La fixation d'un corps sur un autre, quand les

DES HOCTEMBNTS D.UiS L^S COIPLES DIMBOITEMEHT. BS

forces agissantes tendent à produire des erfets de torsion, peut également s'elTcctuer par une pritmatisation de cylindres, i l'aide de clavettes loi^iludinalcs et transversales, etc. En résumé, le con-

structeur de machines se trouve parfaitement à même de satisfaire de plusieurs manières aux conditions que nous avons énoncées précédemment.

Des mouTements dans les couples d'embeitement

Nous Ycdons de voir qu'ij existe trois couples d'éléments satisfaisant à la condition particulière d'un emboîtement continu des corps accouplés. Ce fait qu'il n'en existe que trois seulement est bien digne d'allention, et ce résultat de nos recherches est d'autant plus étonnant qu'en raison de l'cxtrème richesse de cas particuliers qu'offrent les machines, on pouvait naturellement être porté à admettre, àprioHi l'existence d'uo très-grand nombre de couples de ce genre. Ces trois couples uniques se trouvent, en outre, caractérisés, d'une manière toute particulière, par les mouvements desmodromiques auxquels ils donnent lieu.

Dans le couple vis, tous les points de t'écrou dêcnvent des hélices, lesquelles sont égales pour tous les points situés à la même distance de l'axe. Le mouvement de chaque point se compose d'une rotation autour d'un axe et d'une translation suivant cet axe, qui est précisément l'axe même de la vis. L'axoîde correspondant à la vis (voy. g 13) est, par conséquent, une ligne droite qui coïncide avec l'axe de ta vis. Quant à l'axoîde de l'écroii, il sulUt, pour le trouver, de supposer l'écrou fixe et de mettre la vis en mouvement ; tous les points de cette dernière décrivent alors des hélices, lesquelles sont égales

iOO COUPLES D'ÉLÈMEKTS.

pour tous les points également distants de l'axe ; le mouvement est donc exactement le même que celui qui a été trouvé précédemment. Par conséquent, Vaxoïde de Vécrou est également une droite, qui coïncide avec Vaxe géométrique. Cette droite glisse sur la première, en même temps qu'elle roule autour d'elle, en décrivant des angles proportionnels aux longueurs de glissement. Nous trouvons ainsi, dans le couple vis etécrou, un exemple du cas le plus général de la viration des axoïdes, mais sous la forme la plus simple qu'on puisse imaginer, puisque les deux axoïdes se trouvent réduits aux axes mêmes de viration.

On arrive à un résultat analogue pour le couple de rotoïdes. Dans ce couple, chaque point du corps creux mobile décrit une circonférence autour d'un point de l'axe du corps fixe et les circonférences sont égales pour tous les points situés à la même distance de cet axe. L'axoîde du corps fixe est, par suite, une droite coïncidant av.ec son axe géométrique. On obtient un résultat du même genre pour l'axoîde du corps creux, en supposant qu'on fixe ce dernier et qu'on mette le corps plein en mouvement. Par conséquent, les axoïdes, dans le couple de rotoïdes, sont deux axes coïncidants, qui roulent l'un autour de l'autre ; c'est évidemment le cas le plus simple, du roulement cylindrique, puisque les deux cylindres des axes instantanés se trouvent réduits à deux lignes droites.

Enfin, dans le couple de prismes, il n'y a plus de rotation ; la viration des axes instantanés se réduit à un simple glissement de ces axes l'un sur l'autre. Les axes géométriques des deux prismes peuvent alors être considérés comme les axoïdes du mouvement. Toutefois, comme, dans un prisme, l'expression d'axe géométrique n'est pas susceptible d'être définie comme dans le corps de rotation ou la vis, on peut aussi prendre, pour les axoïdes, deux arêtes qui coïncident, ou deux droites parallèles à ces arêtes et également en coïncidence. Le couple prismes fournit donc un exemple limite du cas le plus général de la viration, dans lequel la rotation a disparu, et où il ne reste plus que le glissement ou la translation.

Nous pouvons encore aller un peu plus loin, pour arriver à un résultat d*une certaine importance. Précédemment, comme première condition de la production obligée d'un mouvement déterminé, au moyen d'un couple d'éléments, nous avons admis que l'un des éléments devait être invariablement relié avec le système de points considéré comme fixe dans l'espace. Il nous est maintenant possible de nous débarrasser de cette condition. Si nous mettons alors en mou-

DES HOUVEIIENTS DANS LES COUPLES D'EMBOITEMENT. iOl

veinent les deux éléments que nous supposons convenablement accouplés, il continue à exister, entre ces deux éléments, le mouvement qui auparavant était absolu ou considéré comme absolu pour nous; seulement, ce n'est plus maintenant que le mouvement relatif de Tun des éléments par rapport à l'autre. Il devient, par suite, possible d'introduire, dans des chaînes cinématiqucs, les couples d'éléments que nous venons de trouver, et, dans ce cas, le mouvement relatif des éléments accouplés se transforme en celui des membres de la chaîne cinématique reliés avec les éléments eux-mêmes.

Il résulte de tout ce qui précède que les trois couples d'emboitement réprésentent les trois cas limites de la forme la plus générale du mouvement relatif dont il a été question dans les gg 12 et 13 ; en intervertissant l'ordre dans lequel ils ont été présentés, ils correspondent, en effet, aux trois mouvements suivants : un glissement pur et simple^ une rotation simple autour d'un axeet^ enfin^ un glissement simple combiné à une rotation simple^ proportionnelle au glissement.

C'est là l'un des côtés caractéristiques des couples d'emboîtement. Un autre caractère, également important, que nous avons déjà fait remarquer, sans y insister, tient à ce que, par la permutation de l'élément fixe avec rélémcnl mobile, il ne se produit aucune modification dans le mouvement absolu engendré. Cette propriété, qui, d'une manière générale, est la conséquence de l'égalité des axoïdes, est d'une importance et d'une valeur exceptionnelles pour la construction des machines. La permutation d'un des éléments d'un couple avec son conjugué, au point de vue de la fixation, constitue ce que nous proposons d'appeler l'inversion du couple, et nous pouvons, dès lors, exprimer, comme il suit, la propriété dont il \ient û'èlre question : Dans un couple d'emboîtement ^ V inversion des éléments ne produit aucune modification pour le mouvement engendré dans ce couple.

Ce théorème donne lieu, dans la pratique, à de nombreuses applications. Lorsque, par exemple, on emploie une visa tète (fig. 44 a), au lieu d'une vis ordinaire à écrou (fig- 44 6), on ne fait, en réalité, qu'une simple inversion du couple vis et écrou. Dans les roues de voitures ordinaires, l'essieu est fixé sur le corps même de la voiture et la roue tourne sur cet essieu, par l'intermédiaire du moyeu, corps creux qui l'emboîte; dans les voitures de chemins de fer, au contraire, l'élément creux est fixé sur le bâti de la voiture, tandis que l'essieu est relié invariablement à la roue et mobile avec elle.