APPUI CONTRE U ROTATION

impossible ; il en est de même, pour Tangle opposé par le sommet a'Qb\ de la rotation à gauche que permettrait le même point a, s'il était seul. Dans les deux autres angles opposés par le sommet 60a' et aQb\ ce sont des champs de rotation de même sens qui se recouvrent, et qui sont, à droite pour l'un de ces angles, à gauche pour l'autre; il y a donc, en réalité, possibilité de rotation, à droite ou à gauche, autour des points situés dans les angles qui, sur la figure, sont indiqués par des hachures. On voit, d'après cela, que des deux couples d'angles, opposés par le sommet, que déterminent les normales, l'un, celui qui comprend le point d'intersection T des tangentes, constitue un champ d'appui contre la rotation dans les deux sens, tandis que le second couple est champ de rotation^ à droite^ d'un côté du point 0, à gauche, de l'autre. Autour du sommet 0, commun à ces deux derniers champs, la rotation peut naturellement avoir lieu dans les deux sens^

Si les normales aux points d'appui sont parallèles et dirigées en sens contraire,, c'est-à-dire si leurs directions diffèrent de 180*, ïe

Fig. 64.

Fi^. Go.

champ de rotation, précédemment composé de deux angles opposés par le sommet, se transforme en une bande comprise entre les

Fig. 66.

Fig. 67.

deux normales et autour des points de laquelle peut avoir lieu, soit une rotation à droite [fig. 64), soit une rotation à gauche (fig. 65), suivant que le côté des normales tourné vers cette bande corres-

REULEAUI, CIRiMATIQUE.

11 i COUPLES D'6léhe}<ts.

pond à l'un ou à l'autre des sens de rotation. Si les normales coïncident, la bande se réduit à une simple ligne droite {fig. 66) , autour de tous les points de laquelle la rotation est possible, aussi bien à droite qu'à gauche, puisque cette ligne peut être considérée comme la limite des champs de rotation de sens opposés. Si les deux normales sont à la fois parallèles et dirigées dans lemêmesens(/!ff. 67), la bande comprise entre ces deus normales est champ d'appui, tandis qu'en dehors de cette bande se trouvent deux champs de rotation, l'un i droite, l'autre à gauche, qui, sur la figure, sont indiqués par des hachures.

Trois points d'ippci. — Lorsqueà deux points d'appui a et b, dont les tangentes forment un angle inférieur à ISO', on en ajoute un troisième c , l'influence de ce dernier sur ta réduction de la faculté de rotation dépend essentiellement de la position qui lui est donnée. Si l'on place le point c sur l'arc compris dans l'angle atb des tangentes {/ig. 68), ta normale à ce point coupe les deux noi-males existantes aux points Pet Q, et son champ de rotation gauche vient recouvrir l'angle de rotation gauche aOb', de telle sorte que cet angle reste encore champ de rotation ^'° **■ gauche. D'un autre côté, le

champ de rotation droite de c recouvre la partie b?Qa' de l'angle de rotation de môme sens bOa', et cette partie reste, par suite, champ de rotation droite. Le petit triangle POQ se trouve seul correspondre à deux champs de rotation de sens contraires, de telle sorte que là seulement la possibilité de rotation se trouve supprimée.

Si l'on choisit le point c de telle manière que sa normale traverse les deux parties du champ de rotation des pointsa et b [fig. 69), le triangle POQ des trois normales tombe dans le champ d'appui de ces points, au lieu de tomber dans leur champ de rotation ; les deux parties cPOfc et t'Qfc' se trouvent correspondre toutes deux à des ivjtations de sens contraires, de telle sorte que les deux parties hachées {cPa' et c'QOa) restent seules comme champs de rotation droite et gauche.

L'influence du troisième point d'appui c devient beaucoup plus

APPUI CONIRE Ik ROTATION.

prononcée, lorsqu'il est placé de telle sorte que les angles de sa normale d'appui avec celles des deux autres points soient inférieurs à 180* (/îy. 70). Dans ce cas, comme la normale de c traverse le champ de rotation droite des deux premiers points, son champ de

Fig 69.

Fiff 70.

rotation droite couvre entièrement le champ de rotation gauche aOb', et son champ de rotation gauche la partie aTQ6 de la rotation droite a'06, de telle sorte que, pour ces deux parties, la possibilité de rotation se trouve supprimée, et il ne reste plus, en définitive, que le triangle POQ, autour des points duquel peut avoir lieu une rotation droite. Dans le cas où, par suite de la position de c, sa normale traverserait le champ de rotation gauche aOh\ le petit triangh» restant correspondrait évidemment à une rotation gauche.

Il est facile de limiter encore davantage la possibilité de rotation en diminuant simplement le triangle POQ. Ce dernier se^trouve réduit à son minimum, c'est-àdire à un point unique, lorsque la normale du point c vient passer par le point d'intersection des deux autres normales (fig.

71). La faculté de rotation de la figure se trouve alors elle-même réduite au minimum, mais elle existe cependant toujours.

Lorsque les deux premiers points d'appui ont des normales parallèles, l'addition d'un troisième point donne lieu à une série de cas particuliers, qui présentent un certain intérêt.

Fig. 71.

il6 COUPLES D^ÉLÉNENTS.

Si les deux normales en a et 6 sont parallèles, mais de directions opposées {fig. 72), la normale au troisième point o, disposé entre les deux premiers, divise le champ de rotation en deux parties, dont Tune, en raison de son recouvrement par un champ de rotation de même sens, reste champ de rotation, tandis que l'autre passe, au contraire, à Tétat de champ d'appui.

Pig. 7«.

Fig. 73.

Dans le cas où, par suite de la coïncidence des normales des deux premiers points, le champ de rotation de ces derniers se trouve réduit à une ligne droite {fig. 73), nous avons vu précédemment que la rotation pouvait avoir lieu indifféremment, à droite ou à gauche, autour de tous les points de cette ligne; la normale de c, qui la coupe en P, la divise en deux parties Pa et Pb telles qu'autour des points de chacune d'elles il n'y a plus qu'une seule rotation possible, à droite pour la première, à gauche pour la seconde.

Si les normales des deux premiers points d'appui sont à la fois parallèles et dirigées dans le même sens (fig. 74), le troisième point c peut transformer en champ d'appui une partie de chacun des deux

Pig. 14. Fig. 75.

champs de rotation, qui, comme nous l'avons vu et comme l'indique notre figure, se trouvent situés en dehors des deux premières normales. On peut arriver à faire disparaître complètement un des champs de rotation (fig. 75), en choisissant le troisième point d'ap-