APPUI CONTRE LA ROTATION

pui tel que sa normale soit parallèle aux deux premières, mais dirigée en sens contraire ; le champ de rotation qui reste se trouve réduit à une bande d'une faible largeur.

Enfin, si la normale du troisième point, tout en restant parallèle et de sens contraire aux deux premières, est comprise entre elles, comme dans la figure 76, les deux champs de rotation primitifs se trouvent tous les deux recouverts par un champ de rotation de sens contraire, et sont, par suite, transformés en champ d'appui; la possibilité de rotation se trouve^ dès lors, complètement supprimée.

Quatre et cinq points d'appui. — Dans le cas où la rotation ne peut pas être empêchée par trois points d'appui, et nous avons vu que c'est ce qui a lieu ordinairement, on peut arriver au résultat au moyen d'un quatrième point d'appui, lorsque ce dernier peut être disposé de telle sorte que ses champs de rotation viennent recouvrir^ avec des rotations de sens opposés^ ceux qu'ont laissés subsister les trois premiers points d'appui.

Si, par exemple, aux trois points d'appui indiqués dans la figure 70 on en ajoute une quatrième d, dont la normale ne traverse pas le champ de rotation OPQ, en même temps qu'elle le laisse du côté où les rotations qu'elle permet sont de sens contraire {fig 77), on arrive à empêcher complètement toute rotation de la figure.

Fig. 77.

Fig. 78.

En se reportant à la disposition de la figure 72, on arrive de même à reconnaître qu'un quatrième point d'appui d (fig. 78), choisi de manière que son champ de rotation gauche recouvre le champ de

Rg. 79.

, 118 COUPLES D'ÉLÉUENTS.

rotation droite laissé par les trois premiers points, a pour consé^ quence de transformer ce dernier en champ d'appui. — L'introduction d'un quatrième point d'appui fournit des résultas analogues dans les deux cas représentés parles figures 74 et 75.

Dans le cas de la figui^ 73, au contraire, il n'est pas possible d'arriver de cette manière au but proposé. Si Ton choisit, en effet,

le quatrième point d'appui d {fig. 79) de telle sorte que sa normale passe en dehors du point P et que les champs de rotation droite et gauche correspondants se trouvent respectivement sur la gauche et sur la droite de la figure, les parties Q6 et Pa du champ de rotation primitif (qui ici se réduit à une droite) sont bien recouvertes par des champs de sens œntraire^ et, par suite, la rotation s'y trouve empêchée, mais la partie QP reste eiïcore-ligne de rotation gauche, puisqu'elle est couverte par un champ de même sens. Pour faire disparaître cette ligne PQ, il faut donc prendre un point d tel, que sa normale passe par le point P ; alors la rotation se trouve empêchée autour de tous les points de Pa et de P6, à r exception du point P lui-même. Ce point, en sa qualité de point commun aux lignes séparatives de tous les champs de rotation, ou de point de rencontre de toutes les normales, reste encore centre de rotation. Pour empêcher complètement toute rotation, il devient nécessaire d'ajouter aux points d'appui de la figure 79 un cinquième point e (fig. 80), qui recouvre d'un champ de sens contraire le champ de rotation PQ. Dans le dex'nier cas examiné, oYi nous avons supposé la position du quatrième point d telle que P coïncidât avec Q, il faudrait ajouter deux nouveaux points d'appui, l'un contre la rotation droite, l'autre contre la rotation gauche. La môme chose a également lieu dans le cas de la fig. 71, où les normales des trois points d'appui se rencontrent en un seul point ; il est nécessaire d'ajouter deux nouveaux points d'appui pour empêcher, Tun la rotation droite, Tautre la rotation gauche, et d'adop-

Fig. 80.

APPUI CONTRE LA ROTAnOM. lld

ter, par suite, une disposition analogue à celle de la fig. 80. Ce cas et le précédent peuvent être compris tous les deux dans le théorème suivant : Quand les normales de trois points d'appui d'une figure se coupent toutes les trois en un seul point, U faut au moins cinq points d'appui pour empêcher toute rotation de la figure. j'

Le problème qui a pour but d'empêcher une figure plane de tourner, en lui donnant un nombre d'appuis convenable, présente, comme on le voit, notablement plus de difficultés que celui qui consiste simplement à l'empêcher de prendre un mouvement de translation. En général, quatre points d'appui y au moins y sont nécessaires; dans un cas exceptionnel (ûg. 76), trois sont suffisants; mais assez souvent on n'arrive au résultat qu'avec cinq. En outre, la forme de la figure elle-même ne peut être. choisie à volonté enti^ des limites aussi larges que dans les problèmes relatifs à la translation. Le profil de cette figure doit présenter, dans les directions des tangentes, des variations suffisantes pour permettre de disposer convenablement^ à droite et à gauche, les normales des points d'appui. 11 n'est donc pas possible d'arriver, au moyen d'appuis, à empêcher le cercle de tourner, ce qui, du reste, est évidept à priori. Dans la construction des machines, où il est si fréquemment utilisé, en raison des facilités spéciales d'exécution qu'il présente, il est nécessaire, toutes les fois qu'il est employé comme section d'un corps qui ne doit pas tourner, de le modifier, pour l'amener à une forme susceptible d'être appuyée contre la rotation. Une fois déjà (§ 15), à la suite de considérations d'un autre genre, nous nous sommes heurtés à cette même question, qu'il nous est maintenant possible de traiter, en nous basant sur les recherches précédentes.

Un exemple très-commun nous est fourni par le système de fixation d'un moyeu de roue sur un arbre cylindrique (fig. 81). Si on conservait complètement la forme circulaire, toutes les normales se couperaient en un même point. U est donc nécessaire de pratiquer dans ce cercle une échancrure, de forme rectangulaire, contre

les flancs de laquelle vient s'appuyer, en e et f une pièce saillante, la clavette, qui doit être reliée au moyeu. L'une des normales d'appui ec', dirigée vers la gauche, couvre de son champ de rotation droite le centre 0, tandis que la seconde /jT, dirigée vers la droite, le cou-

COUPLES D'ËLÉUEKTS.

vre de son champ de rotation gauche; on réalise ainsi la condition que nous avons reconnue nécessaire dans le cas de la fig. 80. Souvent aussi on arrive au même résultat en aplatissant simplement le cercle (fig. 82). Dans ce cas, parmi toutes les pressions qu'exerce la clavette, il en est qui ont lieu dans le voisinage » des bords de l'aplatissement en e et f; les deux normales eef et /jT, passant à gauche et à droite du point 0, le recouvrent, l'une avec son champ de rotation gauche, l'autre avec son champ de rotation droite. Les bras de levier des forces d'appui, dirigées suivant les normales, sont ici , naturellement beaucoup plus courts que dans la disposition précédente ; c'est là, comme il est facile de le comprendre, une des raisons pour lesquelles, dans la pratique, on n'a recours à la seconde forme que dans les cas où les forces qui tendent à produii^e la rotation sont suffisamment faibles.

Dans les grandes et pesantes roues hydrauliques, on trouve souvent le moyeu fixé sur l'arbre avec trois clavettes et plus souvent avec quatre ; on laisse, dans ce cas, un vide assez considérable en- .tre le cylindre creux et le cylindre plein, dont les surfaces ne doivent plus, par suite, être considérées comme surfaces d'appui [fig. 83 et 84). Ces systèmes de fixation ne peuvent, à vrai dire.

Fig. 8i.

opposer qu'une assez faible résistance aux forces qui tendent à produire la rotation, puisque les normales d'appui des surfaces des clavettes passent à une distance très-faible du point d'intersection 0 des normales menées par les milieux de ces clavettes. Aussi ce mode de clavctage doit-il être plutôt considéré comme moyen de centrage, c'est-à-dire comme mode d'appui contre le déplacement

APPII CONTRE LA ROTATIOft.

lit

transversal de l*axe dans le moyeu ; il est facile de voir que la disposition est particulièrement convenable pour cet effet (voy. fig. 57 et 6&). Mais, dans les cas où de grands efforts de torsion doivent ôtre transmis par le moyeu, comme, par exemple, dans les engrenages des laminoirs, on applique, de préférence, le mode de calage esquissé dans la fig. 85. C'est à la fois un mode d'appui contre la rotation et la translation.

Fig. 85.

Fig. 86.

Rigoureusement parlant, il suffirait d'employer les cinq appuis mdiqués dans la fig. 86, dont trois, a, b et c, cori^spondraicnt au cas de la fig. 76, tandis que les deux autres compléteraient l'appui contre la translation (voy. fig. 60). Mais la disposition de h fig. 85 est infiniment meilleure, puisqu'elle reporte la résistance à la torsion sur quatre appuis au lieu de deux, et qu'elle double la longueur du bras de levier de cette résistance ; la force de torsion à laquelle se trouve exposée chaque clavette n'est donc que le quart de ce qu'elle serait dans l'autre disposition ; en outre, l'action sur le moyeu, au lieu de s'exercer sur le milieu des côtés de la section, s'exerce dans le voisinage des angles, ce qui est beaucoup plus avantageux.

D'une manière générale, la difficulté plus grande que présente l'appui contrôla rotation, relativement à l'appui contre la translation, est mise en évidence par la comparaison des deux premiers théorèmes et trouve là même son explication. En eiTet, un point d'appui contre la translation possède un champ d'action qui s'étend à 180^, tandis qu'un point d'appui contre la rotation ne peut pas, en réalité, empêcher la rotation et ne fait guère que diviser le champ de rotation en deux parties, l'une de rotation à droite, l'autre de rotation à gauche.

COUPLES D'ÉLfHENTS.

Appuis flimultan'és contre la traotlation et la rotation.

Si nous voulons maintenant appliquer les résultats que nous venons de trouver au cas où l'on a à considérer, en même temps, la translation et la rotation, nous devons commencer par formuler tes théorèmes suivants, qui se déduisent de nos recherches :

1' Avec deux points d'appui seulement, on ne peut empêcher ni la translation ni la rotation d'une figure plane dans son plan.

2° Avec trois points d'appui, convenahlement choisis, on peut :

a. Empêclier la translation, mais non la rotation {yî;;, 57, 70,71);

b. Ou empêcher la rotation, mais non la translation {fig. 76).

3" Avec quatre points d'appui, convenablement disposés, et, pour certains profils avec cinq seulement, on peut empêcher, à la fois, la translation et la rotation.

Nous allons appliquer ces théorèmes aux couples d'emboîtement.

Appris dahs le cotrpLE de prismes. — Supposons qu'on veuille déterminer le minimum du nombre des points d'appui qu'il convient de donner à un prisme plein, pour qu'il ne puisse prendre, par rapport à ces appuis, aucun mouvement, en dehors de ceux que lui permettrait le prisme creux dans le couple d'emboîtement. Si nous considérons deux sections droites faites dans ce prisme par deux plans perpendiculaires à l'axe, nous pouvons protéger chacune d'elles contre la translation et la rotation, au moyen de quatre points d'appui (fig. 87) ; dans ces conditions, toute rotation est empêchée, et la translation du prisme ne peut avoir Heu que dans la direction de l'axe ; ce qui est précisément la propriété caractéristique du

couple de prismes. Nous avons ainsi huit points d'appui, a, b, c, d, f,g,h,i^ïkçdx\Xs entre les deux sections, comme l'indique la fig. 87

JLPPUIS SIHULTAKÉS GOMRE lA TRANSUTION ET LL ROTATION. 1S3

Sur ces h\iit points, On peut en supprimer deux, en imaginant une troisième section droite entre les deux premières (fig. 88), et en supposant appliqués à cette section deux points obtenus par la réduction de deux couples de points existants, d elh, e et g, par exemple. Nous obtenons ainsi définitivement six points d'appui, a, b, c, d, e,f (fig. 88), qui empêchent également toute rotation du prisme et ne permettent qu'une translation dans la direction de l'axe.

Appuis bams le cocple de «otoîdes. — Choisissons comme corps de rotation un cylindre plein, à bases ^ ^

planes {fig. 89), et imaginons dans ce cylindre deux sections droites.

Pour empocher toute translation transversale, nous devrons donner à chacune de ces sections trois points d'appui, a, b, c et d, e, f, *' '

tandis que, pour prévenir une translation longitudinale, il suffira de deux points d'appui ^ et A sur les deux bases. Nous arrivons donc encore ici à huit points d'appui. Mais si nous reportons les six premiers points sur les contours des bases {fig. 90) et si nous

donnons une inclinaison convenable aux surfaces d'appui, ces six points peuvent empêcher, en même temps, la translation longitudinale, et doivent, par suite, être considérés comme suflisants pour constituer un système d'appuis complet.

Appuis dans le couple ms. — Pour réaliser le minimum de points d'appui dans un ûlet de vis, il suffit ^

d'assurer contre la translation et la |^'"-''*^^^|^^^^^''^^'iSB rotation deux sections longitudinales i "' •f

faites par l'axe, perpendiculairement L ^^^ ^^^^ j--"x j^x,^ l'une à l'autre; le filet se trome alors ^'"''^ d °

exactement dans les mêmes coadi- ^"^' ^''

tions que s'il était dans son écrou. D'après les indications fournies parla fig. 78, le nombre des pointa d'appui, pour chaque section,

doit être égal à quatre {fig. 91), de telle sorte qu'ici encore huit points d'appui sont nécessaires. Toutefois, deux couples de ces points peuvent être ramenés à un seul point, comme dans le cas « de la fig. 88, et on peut, dès lors, arriver, comme minimum, à six points d'appui.

En résumé^ pour les trois couples d'emboîtement^ huit points d'appui, et même six seulement, en mettant à profit les points doubles, sont suffisants pour maintenir Vun des éléments dans la position qui, avec le couple complet, correspond à un nombre infini de points d'appui.

Couples supérieurs d'éléments.

Des considérations précédentes sur les appuis des figures planes il résulte qu'on peut former des couples dans lesquels les figures soient disposées de manière à ne pouvoir prendre aucun mouvement de translation, Tune par rapport à l'autre, sans être, pour cela, dépourvues de la faculté de rotation ; c'est précisément ce qui arrive lorsque les normales aux points d'appui (dont le nombre doit

être alors de trois au moins) se coupent toutes en un même point, comme l'indique la fig. 92 ; dans ce cas, il n'existe de faculté de rotation qu'autour d'un seul point. Cette faculté de rotation constitue une mobilité d'une nature parfaitement déterminée et exclusive de tous les autres mouvements, p. g^ c'est-à-dire précisément cette propriété que

nous avons reconnue comme fondamentale

Jour deux corps susceptibles de former, par leur réunion, un couple 'éléments. Si maintenant un semblable couple de figures est d'une nature telle qu'après l'accomplissement d'une rotation infiniment petite autour du pôle 0, l'appui ait encore lieu en trois points dont les normales se coupent toutes en un nouveau point, et si cette propriété continue à se vérifier pour toutes les positions successives des deux figures, il est évident qu'elles pourront servir à former les éléments d'un couple. Il suffira, pour cela, par exemple, de cop-

sidérer ces figures comme les sections droites de deux cylindres qui seraient munis de bords, destinés à empêcher les déplacements longitudinaux.

En ce qui regarde les figures servant de bases aux deux cylindres, il est encore un point sur lequel nous devons spécialement appeler l'attention. En supposant que, pour un système complet d*appuis contre la translation, les normales aux points d*appui de ces bases aient un point d'intersection commun, qu'autour de ce point ait Heu une rotationinfiniment petite et, qu'après ce mouvement de rotation et tous ceux qui viennent à se produire successivement, la translation se trouve constamment empêchée, il est facile de voir que les points d'appui doivent nécessairement être disposés de telle manière que les normales correspondantes passent toutes par un seul et même point, pour toutes les positions de la figure. En eflet, CDmme le système d'appuis, par hypothèse, ne permettait aucune translation, le seul mouvement possible a été un mouvement de rotation autour d'un point unique, lequel ne pouvait être que le point de rencontre de toutes les normales. S'il en était autrement, s'il avait pu se produire, par exemple, une rotation autour d'un point différent, ce point serait forcément situé en dehors de l'une, au moins, des normales d'appui, et, par conséquent, la rotation aurait produit la séparation des deux figures au point d'appui correspondant, ce qui est en contradiction avec le maintien du système d'appuis que nous avons supposé. Nous sommes conduits par là au théorème suivant, qui est d'une grande importance :

Lorsqu'on peut prouver que deux figures^ dans toutes leurs positions successives, constituent constamment, Vune pour Vautre, un système complet d'appuis contre la translation, il est, par cela même, démontré quêteurs normales d'appui se rencontrent toujours toutes en un même point.

Les deux séries des points de rencontre successifs des normales ou des pôles, dans les deux figures, constituent les trajectoires polaires de ces figures, et les cylindres passant par ces courbes sont les axoîdes des deux corps accouplés.

Les couples d'éléments qu'on produit de cette manière ne jouissent pas de la propriété de l'emboîtement réciproque des éléments, qui caractérisait les trois couples trouvés précédemment, mais ils possèdent la propriété de l'enveloppement réciproque, qui est plus générale et d'un ordre plus élevé (voy. g 3). Pour ce motif, il nous

126 COUriES BlLËSIENTS.

parait convenable de les désigner sous le nom de couples d'éléments supérieurs, par opposition à celui d'inférieurs que nous pouvons donner aux couples d*embottement, en raison de leurs propriétés plus restreintes. Pour arriver à une connaissance plus complète de ces couples supérieurs, il est nécessaire d'aborder lexamen de quel* ques exemples.

Fignre biconvexe à denx arcs de cercle dans le triangle.

it*ir •

^XxV

Si, des extrémités P et Q d'une ligne droite PQ, on décrit deux arcb de cercle, avec la longueur de cette droite comme rayon, on délimite dans le plan une figure biconvexe PRQS {fig^ 93), formée de deux

ares de cerele égaux. Cette figure est en contact, aux points Q, R et S, avec un triangle équilatéral ABC, de hauteur 2PQ, lorsque le point Q est pris au milieu d'un des côtés du triangle. En effet, ÂB est perpendiculaire à QR, puisque l'angle PRA=BAQ=50^ que l'angle QRP=60» et qu'en outre 0, R, Â et S appartiennent au cercle décrit du point P, comme centre, avec PQ pour rayon. Les normales d'appui en S, R et Q se coupent toutes au point Q et forment entre elles des angles de 120^. 11 résulte de là que le système d'appuis empêche tout mouvement de translation, en même temps qu'il laisse subsister la possibilité de rotation autour d'un point (voy. fig. 71). La même propriété subsiste, comme nous allons le voir, pour toute autre position de la figure biconvexe dans le triangle, celle, par exemple, qui est indiquée en pointillé.

Supposons d'abord qu'on maintienne la figure biconvexe en contact avec deux côtés seulement AB et BC du triangle, ce qui est toujours possible ; alors, dans la rotation à gauche, le point P se meut sur une droite TU, parallèle à BC, puisque ce point P, comme centre de l'arc RQS, doit rester à distance constante de tous les points de cet arc ; de même, le point Q se meut sur une droite QT, parallèle à

Fig. 93.