FIGURE BICONVEXE DANS LB TRIANGLE. 1S

AB. Ces deux droites se coupent en T, sous un angle de 60*, c'est-àdire précisément sous le même angle que forment, en S, les deux lignes PS et QS. La trajectoire, encore inconnue, du point S, par rapport au triangle ABC, est, par suite, d'une manière générale, celle du sommet d'un triangle indéterminé PSQ, qui, par les extrémités P et Q de sa base, glisse sur les côtés d'un angle égal à l'angle au sommet du triangle.

Soit PQS {fig. 94) ce triangle, UTQ = a son angle au sommet, sur les côtés duquel glissent les points P et Q, 0 et y ses angles à la base. Les points S et T doivent se

trouver sur une circonférence pas- ;-

sant par les points P et Q, dans la- ,.-''' yrl

quelle a est un angle inscrit corres- r P/^ t-t*'

pondant à la corde PQ. Si nous me- /^Vs^ *^'\

nous la ligne ST, l'angle QTS est égal \ \^*V^ / / •

à l'angle p, comme ayant même me- \ \ yC^ //

sure, et, par suite, il est constant. \ Vy/^^jî?!^

Si maintenant nous prolongeons la "^^-^

ligne ST au delà du point T, l'angle ^. '^^

ATP est égal à 1 80* — (a -h p) , c'est- '*

à-dir^ au deuxième angle à la base 7. Par conséquent, le point S se tneut sur une droite qui fait avec les deux côtés de l'angle donné deux angles précisément égaux aux deiuc angles à la base du triangle donné. Cette droite, dans la fig. 93, est le troisième côté AC du triangle ABC, qui, au point T, fait avec UT et QT des angles égaux tous les deux à 60*, c'est-à-dire à l'angle à la base du triangle équilatéral PQS ; il résulte de là que les côtés du triangles ^C se trouvent toujours en contact tous les trois avec la figure biconvexe.

Le point S de cette figure se meut constamment sur le côlé CA du triangle, de mémo que les deux autres côtés restent tangents aux deux arcs; l'angle de deux normales d'appui consécutives est donc toujours de 120^, puisque ces normales restent perpendiculaires aux côtés du triangle. 11 résulte de là que les conditions nécessaires pour que la translation soit constamment empêchée se trouvent satisfaites dans le couple de figures dont il vient d'être question, et que, par suite, en vertu du g 21, les normales d'appui doivent toujours se rencontrer toutes en un point; dès lors, ces figures sont propres à former un couple d'éléments supérieur. 11 nous reste maintenant à procéder à la recherche des trajectoires polaires.

COUPLES D'ÉLfiHENlS.

Fig.

a. Trajectoire polaire correspondant au triangle. — Pour donner à notre recherche une plus grande généralité, remarquons que,

dans le problème précédent, la longueur PQ peut être considérée comme ' une figure plane (voy. § 5), qui, par rapport à la figure représentée par l'angle UTQ, se meut exactement comme la figure biconvexe par rapport au triangle. Ainsi que nous l'avons indiqué au § 8, il est nécessaire de connaître les trajectoires de deux points, au moins, de la figure mobile. Or ici les trajectoires rectilignes TP et TQ des points P et Q sont connues. Les normales à ces trajectoires (fig. 95) se coupent en un point 0, qui doit se trouver sur la circonférence précédemment indiquée dans la figure 94, puisque ces normales, étant perpendiculaires aux côtés de l'angle a, doivent former un angle précisément égal à a. Comme, de plus, les angles TPO et TQO sont droits, il en résulte que la ligne OT est un diamètre du cercle PTSQ. Ce cercle lui-même a une grandeur constante, puisque la longueur PQ et l'angle a ne varient pas ; par conséquent, la distance TO du p61e 0 au point T est également invariable, de telle sorte que ce pôle doit se trouver constamment sur une circonférence décrite du point T comme centre avec un rayon égal à TO. Pour obtenir la grandeur de ce rayon, faisons mouvoir la longueur PQ jusqu'à ce qu'elle arrive à être perpendiculaire à l'un des côtés de l'angle, condition qui se trouve réalisée, par exemple, pour la position P'Q'. L'une des normales coïncide alors avecP'Q', tandis que l'autre est réduite à zéro, et on voit immédiatement que :