P'Q' PQ

TQ'=TO=-=r^ =

ou, en posant TO=R et PQ=a,

sma

a sina

sma

b. Trajectoire polaire dbrrespondant à la figure biconvexe. — Pour trouver la seconde trajectoire polaire, nous devons supposer la longueur PQ maintenue fixe et l'angle PTQ mis en mouvement ; dans ce cas, les points de ce dernier qui passent par P et Q se meuvent dans les directions mêmes des côtés IP et TQ de l'angle.

nCUBE BICONVEXE DANS LE TRIANGLE. 120

Les normales se coupent, comme précédemment, au point 0, qui est maintenant le lieu géométrique des sommets d'un triangle dont la base est PQ et l'angle au sommet 180* — a; ce lieu est la circonférence QOPTS, de diamètre TO, qui passe par les sommets du triangle donné PQS. En désignant par r le rayon de ce cercle, on a :

TO a R ! sina 2*

Fig. 96.

Les trajectoires polaires du couple de figures choisi comme exemple sont donc deux circonférences y dont les diamètres sont dans le rapport de i à 2 et dont la plus petite roule dans la plus grande.

Les trajectoires relatives sont, par conséquent, des cycloïdes; ici, dans le roulement du cercle r à rintérieur du cercle R, les hypocycloïdes se trouvent réduites à des ellipses {fig. 96), parmi lesquelles celles qui sont décrites par les points de la périphérie de r ont leur gi^and axe égal à R et leur petit axe nul ; elles se confondent, par suite, avec les diamètres de R. Dans le roulement de R sur r, les péricycloides prennent la forme spéciale de çericardioïdes, comme l'indique la fig. 97, dans laquelle, de même que dans la fig. 96, on a représenté les trois formes qu'affecte ce genre de courbes, suivant que le point décrivant est sur la périphérie, à l'extérieur ou à l'intérieur. Le premier de ces deux problèmes sur les cycloïdes, à ma connaissance, a été traité, pour la première fois, mais d'une manière incomplète, par le mathématicien Cardan (au seizième siècle) (14). Comme, dans la suite, nous aurons à revenir fréquemment à ce couple de cercles si remarquable, nous le désignerons, par abréviation, sous le nom de cercles de Cardan. — Dans le problème précédent, ces cercles ne se trouvent utilisés que partiellement, mais cela tient à ce que le problème du triangle et de la figure biconvexe n'a pas été appliqué avec toute l'extension dont il est susceptible. En entrant plus avant dans la question, on arrive aux résultats suivants :

Pendant que le point P (fig. 98) marche vers U, T est le som-

nElM.FM'X, '^INKMVyi^lE. O

met de l'angle sur les cdtés duquel glisse la ligne PQ ; le rayon

PO PQ R = -: — =g»^QQoest la longueur TQ, dont la moitié YQ est le rayon

r, de telle sorte que, dans le cas actuel, l'arc QU, qu'on doit prendre en considération, appartient au plus grand des cercles de Cardan, tandis que l'arc QWP est un arc du plus petit. Comme ici l'angle UTQ est de 60" et l'angle PVQ de 120% les deux arcs QU et QWP

Pig. 97.

Fi«r. 98.

se trouvent être égaux. Supposons maintenant qu'à partir de la position U, P se déplace sur la corde UQ jusqu'en W, tandis que Q parcourt la demi-corde VT ; dans ce cas, Q est le sommet de l'angle sur les côtés duquel glisse la ligne PQ, QU est le rayon R et \VQ le rayon r; les arcs correspondants UT et QVP sont d'égale longueur, comme précédemment. A partir de W, P parcourt la demi-corde WQ, pendant que Q marche de T vers P; U est alors le sommet de l'angle, et c'est de ce point qu'on doit décrire, avec le rayon R, l'arc QT, sur lequel roule l'arc QWP.

Après ces divers mouvements successifs, P vient occuper la position primitive de Q, et vice versa, de telle sorte que la figure biconvexe RPSQ se trouve avoir tourné de 180**. Dans une rotation ultérieure, de môme amplitude, le triangle curviligne est parcouru par le pôle une seconde fois, tandis que le double arc PYQW l'est une fois et demie; par conséquent, après le retour dans la position primitive, le pôle se trouve avoir définitivement parcouru 2x5 côtés du triangle curviligne QUT et 5 x 2 côtés du double arc PYQW, de telle sorte qu'il y a eu constamment roulement des deux trajectoires polaires, l'une sur l'autre (15). Ces trajectoi-